2015-2016学年高中数学 2.3反证法和放缩法练习 新人教A版选修4-5.doc

2．3　反证法与放缩法．了解用反证法证明不等式．了解用放缩法证明不等式．提高综合应用知识解决问题的能力．反证法．(1)先________________以此为出发点结合已知条件应用公理________的结论以说明________不正确从而证明原命题成立我们称这种证明问题的方法为反证法．假设要证的命题不成立　矛盾　假设(2)利用反证法证明不等式一般有下面几个步骤：第一步分清欲证不等式所涉及的条件和结论．第二步做出与所证不等式________的假定．第三步从____________出发应用正确的推理方法推出________结果．第四步断定产生矛盾结果的原因在于开始所做的假定________于是原证不等式________． 相反　条件和假定　矛盾　不正确　成立反证法经常用于证明否定性命题(结论中出现“不存在”“不可能”等字眼)、唯一性命题、结论中出现“至多”“至少”的命题、结论中出现“都是”“都不是”的命题、证明方法上直接证明较困难或在证明方向上从结论的反面着手较容易的命题．(3)用反证法证明不等式必须把握以下几点：必须否定结论即肯定结论的反面当结论的反面呈现多样性时必须罗列出各种情况缺少任何一种可能否则仅否定结论不从结论的反面出发进行推理就不是反证法；推导出的矛盾可能多种多样有的与已知矛盾有的与假设矛盾有的与已知的事实相违背等．推导出的矛盾必须是明显的；在使用反证法时否定结论”在推理论证中往往作为已知使用可视为已知条件．(4)反证法中的数学语言．反证法适宜证明存在性问题、唯一性问题、带有“至少有一个”“至多有一个”等字样的问题或者说“正难则反”直. 常见词语 至少有一个 至多有一个 唯一一个 不是 不可能 全 都是 否定假设 一个也没有 有两个或两个以上 没有或有两个及两个以上 是 有或存在 不全 不都是思考1　已知a＞b0，求证：＞(n∈N且＞)．用反证法证明此题时第一步是：________．假设 2．放缩法．(1)所谓放缩法即是把要证的不等式一边适当地________(或________)使之得出明显的不等量关系后再应用不等量大、小的传递性从而使不等式得到证明的方法．放大　缩小(2)放缩法的主要理论依据．不等式的传递性；等量加不等(3)使用放缩法的主要方法．放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一放缩必须有目标而且要恰到好处目标往往从要证明的结论考虑．常用的放缩法有增项、减项、利用分式的性质、利用不等式的性质、利用已知不等式、利用函数的性质进行放缩等．比如：舍去或加上一些项：＋＞；将分子或分母放大(或缩小)：＜＞＜＞( k∈R＞)等．(4)对不等式而言放缩的本质是“不等式的加强”常见的放缩有下面四种类型：直接放缩；裂项放缩；利用数列或函数的单调性放缩；利用基本不等式放缩．思考2　对于任何实数x求证：x－x＋1≥证明　因为x－x＋1＝＋，所以－＋1≥ 1．用反证法证明“若整系数一元二次方程ax＋bx＋＝(a≠0)有有理根那么a中至少有一个偶数”时下列假设中正确的是(　　)　　 　　　　　 　　　 　　　假设a都是偶数假设a都不是偶数假设a至多有一个偶数假设a至多有两个偶数在求证“数列，不可能为等比数列”时最好采用(　　)分析法　 ．综合法反证法 ．直接法设M＝＋＋＋…＋则(　　)＝1 ．与1大小关系不定＝1＋＋＋…＋与(n∈N)的大小关系为________．解析：n∈N当n＝1时＝＝1；当n1时＝1＋＋＋…＋＋＋＋…＋＝1＋(－1)＋(－)＋…＋(－)＝综上可知. 答案：A≥ 5．(2014.山东高考理科·)用反证法证明命题：“已知a为实数则方程x＋ax＋b＝0至少有一个实根”时要做的假设是(　　)方程x＋ax＋b＝0没有实根．方程x＋ax＋b＝0至多有一个实根．方程x＋ax＋b＝0至多有两个实根方程x＋ax＋b＝0恰好有两个实根．解析：本题考查了反证法从问题的反面出发进行假设．一元二次方程根的个数为0因此至少有一个实根包含1根或两根它的反面为0根．选答案：设aR＋则三个数a＋＋＋(　　)都大于2都小于2至少有一个不大于2至少有一个不小于2答案：＝1＋＋＋…＋与2________．解析：A＝1＋＋＋…＋＋＋＋…＋＝1＋＋＋…＋＝－答案：A＜2已知x且x＋y2.证明：中至少有一个小于2.证明：(反证法)设≥2，则 由①②式可得2＋x＋y≥2(x＋y)即x＋y≤2与题设矛盾．，中至少有一个小于2.若数列{x的通项公式为x＝求证：x－1. 证明：∵＝＝－1＝×…×＝. ∴x1·x3·x5·…·x2n－1. 10．(2014·佛山一模·节选)数列{a的通项公式＝(n＋)．(1)记＝＋求证：对一切正整数n有＋＋＋…＋；(2)求证：对一切正整数n有＋＋＋…＋. (1)证明：证法一　＝＝(－)所以＝＋＝于是＋＋＋…＋＝[＋(－)＋…＋