高中新课标A数学必修2课件：4.本章回顾.ppt

第*页 共 24 页 第*页 共 24 页 本章回顾 一?知识结构 二?方法总结 1.求圆的方程应注意根据所给条件,恰当选择方程的形式,用待定系数法求解. 2.讨论点与圆?直线与圆?圆与圆的位置关系时,一般从代数特征(方程组解的个数)或几何特征(点或直线到圆心的距离和两圆的圆心距与半径关系)去考虑,其中用几何法较为简捷?实用. 3.解决空间问题注意利用类比的思想. 三?数学思想 1.数形结合思想 例1:圆(x-3)2+(y-3)2=9上到直线3x+4y-11=0的距离为1的点有几个? 分析:探讨圆半径,圆心到直线的距离以及二者之间的大小关系. 解:解法1:圆(x-3)2+(y-3)2=9的圆心O1(3,3),半径r=3. 设圆心O1到直线3x+4y-11=0的距离为d,则 如图,在圆心O1同侧与直线 3x+4y-11=0平行且距离为 1的直线l1与圆有两个交点 ,则这两个交点符合题意. 又r-d=3-2=1. ∴与直线3x+4y-11=0平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意. ∴符合题意的点共有3个. 解法2:符合题意的点是平行于直线3x+4y-11=0,且与之距离为1的直线和圆的交点. 设所求直线为3x+4y+m=0,则 ∴m+11=±5,即m=-6,或m=-16. 即l1:3x+4y-6=0,或l2:3x+4y-16=0. 设圆O1:(x-3)2+(y-3)2=9的圆心到直线l1、l2的距离为d1、d2. 则 ∴l1与O1相切,与圆O1有一个公共点;l2与圆O1相交,与圆O1有两个公共点.即符合题意的点共有3个. 规律技巧:到一条直线的距离等于定值的点,在与此直线距离 为该定值的两条平行直线上,因此题中所求的点就是这两条 平行直线与圆的公共点.求直线与圆的公共点个数,一般根据 圆与直线的位置关系来判断,即根据圆心与直线的距离和半 径的大小比较来判断. 2.转化与化归思想 例2:若实数x?y满足x2+y2+8x-6y+16=0,求x+y的最小值. 解:将方程化为(x+4)2+(y-3)2=9 设x+y=b,则y=-x+b 可见求x+y的最小值转化为求直线y=-x+b在y轴上的截距最小,因为(x,y)在圆上,这时只要直线与圆相切.如图由点到直线的距离公式可得 规律技巧:把求x+y的最值问题转化为几何问题,利用点到直 线的距离得以解决. 3.函数与方程思想 例3:已知⊙C:(x-3)2+(y-4)2=1,点A(-1,0)?B(1,0),点P是圆上动点,求d=|PA|2+|PB|2的最大?最小值及对应的P点坐标. 解:设点P为(x0,y0),则 d=(x0+1)2+y +(x0-1)2+y =2(x +y )+2. 欲求d的最大?最小值,只需求u=x +y 的最大?最小值,此即求⊙C上点到原点距离之平方的最大?最小值. 作直线OC,设其交⊙C于P1(x1,y1)?P2(x2,y2), 则u最小值=(|OC|-1)2=16=|OP1|2,此时OP1:P1C=4, ∴d最小值=34,对应点P1的坐标为 同理可得d最大值=74,对应点P2的坐标为 规律技巧:圆上点到定点或定直线的距离的最值,都在点与定 点的连线?点与直线的垂线过圆心时取得.本题解法充分反映 了解析几何的解题思路:一方面,将几何问题代数化;另一方面, 将代数问题几何化. 四?专题:(一)巧用直线与圆的位置关系 设圆C的半径为r,圆心到直线l的距离为d,则直线与圆的位置关系为: (1)l与圆相交?dr;(2)l与圆相切?d=r;(3)l与圆相离?dr. 恰当地运用这一结论解题,往往给人以推陈出新之感,请看下面的例子. 1.应用于求斜率 例4:已知直线l经过点(3,2)且与圆心在原点的单位圆相切,求直线l的斜率. 解:设l的斜率为k,则直线l的方程为: y=k(x-3)+2. ∴圆心到直线的距离为 由于直线与圆相切,因而 解得 2.应用于证明不等式 例5:设c是直角三角形的斜边长,a,b是两条直角边边长,求证 证明:由直角三角形,知a2+b2=c2. 取圆C:x2+y2=c2,直线x+y=a+b, 则点(a,b)必为圆C与直线的公共点, 由点到直线的距离公式,得 ≤c,整理即得到 3.应用于求最值 例6:已知a2+9b2-4a-12b+3=0,a,b∈R,求k=a+6b的最值. 解:由已知整理得(a-2)2+(3b-2)2=5, 显然,点(a,3b)是圆(x-2)2+(y-2)2=5与直线x+2y=k的公共点, 由直线与圆的位置关系,有: 解之得1≤k≤11. 因此,k=a+6b的最大值为11,最小值为1. (二)圆的几何性质的应用 在解析几何中,若能抓住图形的特征,充分利用平面几何知识.常会得到事半功倍的