专题一：含参数问题的恒成立问题.doc

专题一：含参不等式恒成立问题的求解策略 “含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。另一方面，在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。本文就结合实例谈谈这类问题的一般求解策略。 (一)、判别式法 若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。 类型1:一般地，对于二次函数,有 (1）对恒成立; (2）对恒成立 类型2：设 （1）当时，上恒成立， 上恒成立 （2）当时，上恒成立 上恒成立 例1．已知函数的定义域为R，求实数的取值范围。 例2．一元二次不等式在上恒成立，求实数的取值范围。答案 (二)、最值法 将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有： (1）恒成立 ( 2）恒成立 例3．已知，当时，恒成立，求实数的取值范围。答案 例4．函数，若对任意，恒成立，求实数的取值范围。答案: (三)、分离变量法 若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。一般地有： (1）恒成立 (2）恒成立 实际上，上题就可利用此法解决。 略解：在时恒成立，只要在时恒成立。而易求得二次函数在上的最大值为，所以。 例5．已知函数时恒成立，求实数的取值范围。 注：分离参数后，方向明确，思路清晰能使问题顺利得到解决。 （四）、变换主元法 处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考，往往会使问题降次、简化。 例6、若不等式对满足的所有都成立，求x的范围。 解析：我们可以用改变主元的办法，将m视为主变元，即将元不等式化为：，；令，则时，恒成立，所以只需即，所以x的范围是。 练习：对任意，不等式恒成立，求的取值范围。 分析：题中的不等式是关于的一元二次不等式，但若把看成主元，则问题可转化为一次不等式在上恒成立的问题。 解：令，则原问题转化为恒成立（）。 当时，可得，不合题意。 当时，应有解之得。 故的取值范围为。 反思：对于一次函数有： （五）、数形结合法 数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，这充分说明了数形结合思想的妙处，在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用。我们知道，函数图象和不等式有着密切的联系： 1）函数图象恒在函数图象上方； 2）函数图象恒在函数图象下上方。 例7．设 , ,若恒有成立,求实数的取值范围. 巩固练习 1、求使不等式恒成立的实数a的范围。（） 2、设函数是定义在上的增函数，如果不等式对于任意恒成立，求实数的取值范围。（） 3、当x(1,2)时，不等式恒成立，求的取值范围。（1a2） 4