参数估计在建模中的应用(上).ppt

参数估计在建模中的应用 参数估计的一般问题 一个总体参数的区间估计 两个总体参数的区间估计 样本容量的确定 统计推断的过程 估计量与估计值 估计量：用于估计总体参数的随机变量 如样本均值，样本比率、样本方差等 例如: 样本均值就是总体均值? 的一个估计量 参数用? 表示，估计量用 表示 估计值：估计参数时计算出来的统计量的具体值 如果样本均值 ?x =80，则80就是?的估计值 点估计 用样本的估计量直接作为总体参数的估计值 例如：用样本均值直接作为总体均值的估计 例如：用两个样本均值之差直接作为总体均值之差的估计 没有给出估计值接近总体参数程度的信息 点估计的方法有矩估计法、顺序统计量法、最大似然法、最小二乘法等 含义：在点估计的基础上，估计总体参数的区间范围，并给出区间估计成立的概率值。 其中： 1-α(0α1)称为置信水平 α是区间估计的显著性水平； 常用的置信水平值有 99%, 95%, 90% 相应的 ??为0.01，0.05，0.10 由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为置信区间 统计学家在某种程度上确信这个区间会包含真正的总体参数，所以给它取名为置信区间 用一个具体的样本所构造的区间是一个特定的区间，我们无法知道这个样本所产生的区间是否包含总体参数的真值 我们只能是希望这个区间是大量包含总体参数真值的区间中的一个，但它也可能是少数几个不包含参数真值的区间中的一个 置信区间 置信区间与置信水平 区间估计的图示 无偏性：估计量抽样分布的数学期望等于被估计的总体参数 评价估计量的标准——有效性 评价估计量的标准——一致性 一致性：随着样本容量的增大，估计量的值越来越接近被估计的总体参数 一般常用? 表示参数，参数? 所有可能取值组成的集合称为参数空间，常用?表示。参数估计问题就是根据样本对上述各个未知参数作出估计。 参数估计的两种形式：点估计与区间估计。 设 x1, x2,…, xn 是来自总体 X 的一个样本，我们用一个统计量 的取值作为? 的估计值， 称为? 的点估计（量），简称估计。在这里如何构造统计量 并没有明确的规定，只要它满足一定的合理性即可。这就涉及到两个问题： 点估计 替换原理和矩估计法 例 对某型号的20辆汽车记录其每加仑汽油的行驶里程(km)，观测数据如下： 29.8 27.6 28.3 27.9 30.1 28.7 29.9 28.0 27.9 28.7 28.4 27.2 29.5 28.5 28.0 30.0 29.1 29.8 29.6 26.9 经计算有 由此给出总体均值、方差和中位数的估计分别为: 28.695, 0.9185 和 28.6。 矩估计法的实质是用经验分布函数去替换总体分布，其理论基础是格里纹科定理。 二、概率函数P(x,θ)已知时未知参数的矩估计法 设总体具有已知的概率函数 P(x, ?1, …, ?k)， x1, x2 , …, xn 是样本，假定总体的k阶原点矩?k存在，若?1, …, ?k 能够表示成 ?1, …, ?k 的函数?j = ?j(?1, …,?k)，则可给出诸?j 的矩估计法为 其中 例设总体服从指数分布，由于EX=1/?， 即? =1/ EX，故? 的矩法估计为 另外，由于Var(X)=1/?2，其反函数为 因此，从替换原理来看，?的矩法估计也可取为 s 为样本标准差。这说明矩估计可能是不唯一的，这是矩估计法的一个缺点，此时通常应该尽量采用低阶矩给出未知参数的估计。 例x1, x2, …, xn是来自(a,b)上的均匀分布U(a,b)的样本，a与b均是未知参数，这里k=2，由于 不难推出 由此即可得到a, b的矩估计为： 最大似然估计 定义 设总体X属离散型，其分布律为p(x;? )，?是参数? 可能取值的参数空间，x1, x2 , …, xn 是样本，将样本的联合分布律看成? 的函数，用L(? ; x1, x2, …, xn) 表示，简记为L(? )， 称为样本的似然函数。 极大似然估计（续） 定义 设总体X为连续型，其概率密度为f(x;? )，?是参数? 可能取值的参数空间，x1, x2 , …, xn 是样本，将样本的联合密度