广东外语外贸大学《微积分》04项目三 多元函数微积分学.docVIP

附录Ⅰ 大学数学实验指导书 项目三 多元函数微积分 实验1 多元函数微积分（基础实验） 实验目的 掌握利用Mathematica计算多元函数偏导数和全微分的方法, 掌握计算二元 函数极值和条件极值的方法. 通过作图和观察, 理解二元函数的性质. 掌握利用Mathematica计算二重积分方法; 提高应用重积分解决实际问题的能力. 基本命令 1.求偏导数的命令D 命令D既可以用于求一元函数的导数, 也可以用于求多元函数的偏导数. 例如: 求对x的偏导数, 则输入D[f[x,y,z],x] 求对y的偏导数, 则输入D[f[x,y,z],y] 求对x的二阶偏导数, 则输入D[f[x,y,z],{x,2}] 求对的混合偏导数, 则输入D[f[x,y,z],x,y] ………… 2.求全微分的命令Dt 该命令只用于求二元函数的全微分时, 其基本格式为 Dt[f[x,y]] 其输出的表达式中含有Dt[x],Dt[y], 它们分别表示自变量的微分dx,dy. 若函数的表 达式中还含有其它用字符表示的常数, 例如a, 则Dt[f[x,y]]的输出中还会有Dt[a], 若采用选 项Constants-{a}, 就可以得到正确结果, 即只要输入 Dt[f[x,y],Constants-{a}] 3. 计算重积分的命令lntegrate和NIntegrate 例如,计算, 输入 Integrate[x*y^2,{x,0,1},{y,0,x}] 则输出 又如,计算的近似值, 输入 NIntegrate[Sin[x*y^2],{x,0,1},{y,0,1}] 则输出 0.160839 注: Integrate命令先对后边的变量积分. 利用Mathematica计算重积分(教材 例1.1) 设求 输入 Clear[z]; z=Sin[x*y]+Cos[x*y]^2; D[z,x] D[z,y] D[z,{x,2}] D[z,x,y] 则输出所求结果. 例1.2 设求和全微分dz. 输入 Clear[z];z=(1+x*y)^y; D[z,x] D[z,y] 则有输出 再输入 Dt[z] 则得到输出 例1.3 (教材 例1.2) 设其中a是常数, 求dz. 输入 Clear[z,a];z=(a+x*y)^y; wf=Dt[z,Constants-{a}]//Simplify 则输出结果: (a+xy)-1+y(y2Dt[x,Constants-{a}]+ Dt[y,Constants-{a}](xy+(a+xy)Log[a+xy])) 其中Dt[x,Constants-{a}]就是dx, Dt[y,Constants-{a}]就是dy. 可以用代换命令“/.”把它们 换掉. 输入 wf/.{Dt[x,Constants-{a}]-dx,Dt[y,Constants-{a}]-dy} 输出为 (a+xy)-1+y(dxy2+dy(xy+(a+xy)Log[a+xy])) 例1.4 (教材 例1.3) 设,求 输入 eq1=D[x==E^u+u*Sin[v],x,NonConstants-{u,v}] (*第一个方程两边对x求导数, 把u,v看成x,y的函数*) eq2=D[y==E^u-u*Cos[v],x,NonConstants-{u,v}] (*第二个方程两边对x求导数, 把u,v看成x,y的函数*) Solve[{eq1,eq2},{D[u,x,NonConstants-{u,v}], D[v,x,NonConstants-{u,v}]}]//Simplify (*解求导以后由eq1,eq2组成的方程组*) 则输出 其中D[u,x,NonConstants-{u,v}]表示u对x的偏导数, 而D[v,x,NonCosnstants-{u,v}]表示v 对x的偏导数. 类似地可求得u,v对y的偏导数. 多元函数的极值 例1.5 (教材 例1.4) 求的极值. 输入 Clear[f]; f[x_,y_]=x^3-y^3+3x^2+3y^2-9x; fx=D[f[x,y],x] fy=D[f[x,y],y] critpts=Solve[{fx==0,fy==0}] 则分别输出所求偏导数和驻点: {{x--3,y-0},{x--3,y-2},{x-1,y-0},{x-1,y-2}} 再输入求二阶偏导数和定义判别式的命令 fxx=D[f[x,y],{x,2}]; fyy=D[f[x,y],{y,2}]; fxy=D[f[x,y],x,y]; disc=fxx*fyy-fxy^2 输出为判别式函数的形式: (6+6x