6.5 参数估计.pptx

引入 6.5.1 区间估计的概念 6.5.2 枢轴量法 6.5.3 单个正态总体参数的置信区间 6.5.4 大样本置信区间; 前面介绍的参数点估计方法不能回答估计值的可靠度与精度问题，即对于“估计值θ落在区间[θ-ε，θ+ε]的概率有多大？”这样的问题没有明确的结论.因而需要引入区间估计方法. 例如，要估计一批电子产品的平均寿命，往往不需要一个很精确的数，而只需给出一个不大的范围即可，如8000--9000小时.当然，还需要求对这个估计有较高的“可信程度”，比如95%.; 根据估计量的分布，在一定的可靠程度下，指出被估计的总体参数所在的可能数值范围。 这类问题称为参数的区间估计。 ;定义6.5.1 设? 是总体的一个参数，其参数空间为Θ，x1, x2 , …, xn是来自该总体的样本，对给定的一个? (0? 1)，若有两个统计量 和 ，若对任意的? ∈Θ，有 （6.5.1） ; 则称随机区间[ ]为? 的置信水平为1-? 的置信区间，或简称[ ]是? 的1-?置信区间. 和 分别称为? 的（双侧）置信下限和置信上限. ;例6.5.1 设x1, x2 , …, x10是来自N(?,? 2)的样本，则? 的置信水平为1-? 的置信区间为 其中， ,s 分别为样本均值和样本标准差。这个置信区间的由来将在6.5.3节中说明，这里用它来说明置信区间的含义。 若取? =0.10，则t0..95(9)=1.8331，上式化为; 现假定? =15,? 2 =4，则我们可以用随机模拟方法由N(15,4)产生一个容量为10的样本，如下即是这样一个样本：14.85 13.01 13.50 14.93 16.97 13.80 17.9533 13.37 16.29 12.38 由该样本可以算得 从而得到? 的一个区间估计为 该区间包含? 的真值--15。现重复这样的方法 100次，可以得到100个样本，也就得到100个区 间，我们将这100个区间画在图6.5.1上。 ; 由图6.5.1可以看出，这100个区间中有91个包含参数真值15，另外9个不包含参数真值。 ; 取?=0.50，我们也可以给出100个这样的区间，见图6.5.2。可以看出，这100个区间中有50个包含参数真值15，另外50个不包含参数真值。 ;定义6.5.2 沿用定义6.5.1的记号，如对给定的? (0? 1)，对任意的?∈Θ，有 （6.5.2） 称 为? 的1-? 同等置信区间。 同等置信区间是把给定的置信水平1-? 用足了。常在总体为连续分布场合下可以实现。 ;定义 若对给定的? (0? 1)和任意的?∈Θ，有 ，则称 为? 的置信水平为1-? 的（单侧）置信下限。假如等号对一切?∈Θ成立，则称 为? 的1-? 同等置信下限。若对给定的? (0 ? 1)和任意的?∈Θ，有 ,则称 为? 的置信水平为1-? 的（单侧）置信上限。若等号对一切?∈Θ成立，则称 为1-? 同等置信上限。 单侧置信限是置信区间的特殊情形。因此，寻求置信区间的方法可以用来寻找单侧置信限。 ;6.5.2 枢轴量法 ;关于置信区间的构造有两点说明： ;例6.5.2 设x1, x2 , …, xn是来自均匀总体U(0, ? )的一个样本，试对给定的? (0? 1)给出? 的1-? 同等置信区间。 ;（3）利用不等式变形可容易地给出? 的1-?同等置信区间为[x(n) /d，x(n) /c]，该区间的平均长度为 。不难看出，在0≤cd≤1及dn-cn=1-? 的条件下，当d=1, c= 时， 取得最小值，这说明 是? 的置信水平1-? 为最短置信区间。 ;6.5.3 单个正态总体参数的置信区间 ;例6.5.3 用天平秤某物体的重量9次，得平均值为 （克），已知天平秤量结果为正态分布，其标准差为0.1克。试求该物体重量的0.95置信区间。 解：此处1-? =0.95，? =0.05，查表知u0.975=1.96，于是该物体重量? 的0.95置信区间为 ， 从而该物体重量的0.95置信区间为