扈志明-微积分B（1）第8次习题课（泰勒公式）答案（2014）.pdfVIP

2014 年年 12 月月 年年 月月 微积分微积分 B(1)第第 8 次习题课次习题课参考答案参考答案 （第（第十十一一周）周） 微积分微积分 第第 次习题课次习题课参考答案参考答案 （（第第十十一一周）周） 教学目的教学目的: 泰勒公式是一元函数微分学的顶峰，有两种常用的余项，但一定要注意使用的泰勒公式是一元函数微分学的顶峰，有两种常用的余项，但一定要注意使用的 教学目的教学目的 泰勒公式是一元函数微分学的顶峰，有两种常用的余项，但一定要注意使用的泰勒公式是一元函数微分学的顶峰，有两种常用的余项，但一定要注意使用的 件与差别，对于基本函数，要会间接展开与直接展开，泰勒展开的定理证明应掌握．件与差别，对于基本函数，要会间接展开与直接展开，泰勒展开的定理证明应掌握． 件与差别，对于基本函数，要会间接展开与直接展开，泰勒展开的定理证明应掌握件与差别，对于基本函数，要会间接展开与直接展开，泰勒展开的定理证明应掌握．． 3 2 1．已知函数f (x) =x − 2x + 5x + 1 ，，写出f (x) 在x = 1处带拉格朗日余项的1阶与2 阶泰 0 勒公式． ′ 2 ′′ ′′′ 解：解： f (x) = 3x − 4x + 5 ，f (x) = 6x − 4 ，f (x) = 6 ． 解解：： ′ ′′ f (1) = 5 ，f (1) = 4 ，f (1) = 2 ． 所以1阶带拉格朗日余项的泰勒公式是 6ξ − 4 2 f x x x ( ) = 5 + 4( − 1) + ( − 1) ， 2! 其中ξ 介于x 与1之间． 2 阶拉格朗日余项的泰勒公式是 1 2 1 3 f (x) = 5 + 4(x − 1) + [2(x − 1) ] + [6(x − 1) ] 2 3! = 5 + 4(x − 1) + (x − 1)2 + (x − 1)3 ． 注：注：n次多项式的n次泰勒多项式就是其本身! 注注：： 2 2 ．若f (x) ∈D ( −∞, +∞), 证明对任意的a c b ，都存在ξ ∈(ab, ) ，使得