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2014 年年 12 月月
年年 月月
微积分微积分 B(1)第十二第十二次习题课答案(第次习题课答案(第十五十五周)周)
微积分微积分 第第十二十二次次习题课答案(第习题课答案(第十五十五周)周)
教学目的:教学目的 :本周习题课主要练习数项级数.对于数项级数的判敛,我们应与广义积分作对比,
教学目的教学目的 ::
掌握它们相似与不同的地方.对于正项级数,要掌握比较(比阶)、比值、根式判别法,积
分判别法.比较判别法主要的想法仍然为泰勒公式看阶,这一点需要大家多体会.对于一般
级数,要掌握莱布尼茨级数、绝对值判别法.对于数项级数存在的Cauchy 收敛准则应掌握
并会运用.
∞ 1
1.计算∑ ,其中m 是正整数.
n=1 nn( + m)
解:解:因为
解:解:
N 1 1 N 1 1
∑ = ∑( − )
+ +
n=1 nn( m) m n=1 n n m
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
= (1 + + ⋯ + + ⋯+ ) − ( + + ⋯ + + ⋯+ )
+ + + + +
m 2 m m 1 N m 1 m 2 m N N 1 N m
1 1 1 1 1 1
= (1 + + ⋯ − − − ⋯− ) ,
m 2 m N +1 N +1 N + m
所以
∞ 1 N 1
∑ = lim ∑
n=1 nn( + m) N→∞ n=1 nn( + m)
1 1 1 1 1 1 1
= lim 1 + + + ⋯+ − − − ⋯−
N→∞ m 2 3 m N +1 N + 2 N + m
1 1 1
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