扈志明-微积分B（1）第13次习题课（函数项级数）答案（2014）.pdfVIP

2014 年年 12 月月 年年 月月 微积分微积分 B(1)第十三第十三次习题课答案（第次习题课答案（第十六十六周）周） 微积分微积分 第第十三十三次次习题课答案（第习题课答案（第十六十六周）周） 教学目的：教学目的 ：本次习题课练习的是函数项级数以及幂级数、傅里叶级数的内容．函数项级数要 教学目的教学目的 ：： 掌握收敛与一致收敛的区别与联系，Cauchy 收敛准则，优势级数判别法，非一致收敛的叙 述以及相应的 Cauchy 收敛准则，对“一致”二字应多体会其中的含义；幂级数要求掌握收 敛半径的概念，会求收敛半径，收敛区间，收敛域，理解 Abel 定理的内容，会逐项积分、 逐项求导，会求幂级数的和函数，并可以对特殊值求得特殊的数项级数的和；傅里叶级数要 求掌握Dirichlet收敛定理，给定一个周期内的函数值可以直接展开，给定半个周期的值会 延拓后再展开． 一、函数项级数一、函数项级数 一一、函数项级数、函数项级数 1．考查下列函数项级数在指定区间上是否一致收敛，并给出证明 ∞ ∞ x nx （1） ln(1 + ) ，x a ； （2 ） , x ∈( −∞, +∞) ； ∑ 2 ∑ 5 2 n=2 nln n n=1 1+ n x ∞ (−1) n ∞ x （3 ） ； （4 ） ln(1 + ), x∈[1, +∞) ； ∑ ∑ 2 n=2 n− sin x n=2 nln n ∞ 1 ∞ x2 （5 ） 2n sin , x ∈(0, +∞) ； （6 ） , x ∈( −∞, +∞) ． ∑ n ∑ 2 n n=1 3 x n=1 (1 + x ) x ln(1 + 2 ) 解：解：（1）当x a 时，因为lim nln n =1 ，所以当n充分大时， 有 解：解： n→∞ x nln2 n x 3 a ln(1 + 2 ) ≤ 2 ．