黄景炽-医科数学第三章1.pptVIP

例 求不定积分 方法 当被积函数含有两种或两种以上的根式 时, 可令 ( 为各根指数的最小公倍数). 解 令 例 求 解 为去掉被积函数中的根号，令 （在 的其它单调区间上也同样讨论），则 于是 我们用如下的方法还原变量x.因 ，有 .作如图所示的直角三角形.从而有 且 在 内存在反函数 于是 例5 求 解 令 （在 的其它单调区间 上也可同样讨论）. 于是 借助右图，求得 故有 例 6 解 求不定积分 令 以上三例表明,若被积函数中含有 时,均可采用三角替换的方法化去根式,这种方法称为三角代换. 三角代换常有下列规律 可令 可令 可令 根据被积函数的定义域来选择合适变量代换 解：令 例 求 注 倒数代换 也是常用的代换之一 解：令 例 求 分部积分公式 问题 思路 利用两个函数乘积的求导公式, 设函数 和 具有连续导数, 则 移项得 两边积分得 或 分部积分公式 分部积分公式 求解关键 如何将所给积分 化为 形式, 并使它更容易计算, 主要采用凑微分法, 例如, 利用分部积分法计算不定积分, 选择好 非常 、 关键, 选择不当将使积分的计算变得更加复杂 分部积分公式 例如, 更复杂 有关分部积分公式的几点说明 1. 有些函数的积分需要连续多次应用分部积分法; 2. 有些函数的积分在连续两次应用分部积分法后 出现了原来的积分式, 这时通过解方程可得到所求 不定积分; 3. 一般来说, 下列类型的被积函数常考虑应用分部 积分法, 其中 都是正整数. 等. 例 求 解 令 则有 例 求 解 把 看作u，dx看作dv，则 例 求 解 通过以上各例可知，使用分部积分法的关键在 于选定被积表达式中的u和dv，使等式 右边的不定积分容易求出. 例 求不定积分 解 令 例 求不定积分 解 令 小结若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积,可设对数函数或反三角函数为 而将幂函数凑微分进入微分号,使得应用分部积分公式后,对数函数或反三角函数消失. 分部积分法顺序：反~对幂三~指 例 求不定积分 解 例 求不定积分 解 令 则 于是 基本积分表 (9) (10) (11) (12) (13) (8) 直接积分法 从前面的例题知道, 不定积分是非常不方便的. 为解决不定积分的计算 质和积分基本公式, 直接求出不定积分的方法, 直接积分法. 利用不定积分的定义来计算 问题, 这里我们先介绍一种利用不定积分 的运算性 即 例如, 计算不定积分 注: 多个不定积分作代数和运算时, 只需统一记一 个积分常数 例 求 . 解 例 求不定积分 解 例 求不定积分 解 例 求 解： 例 求不定积分 解 例 求不定积分 解 例 求下列不定积分: 解 例 求不定积分 解 问题 ? 观察 从公式 令 则有 解法 可将微分 凑成 的形式, 即 第一类换元法(凑微分法) 一般地, 设 具有原函数 即 则 换元 回代 应用凑微分法求 的关键是将它化为 上述方法称为第一类换元法或凑微分法. 第一类换元法(凑微分法) 部分常用的凑微分公式: (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 例 解 求不定积分 利用凑微分公式 所以 换元 回代 例 求 解 令 ，则 .由公式有 例 求 解 例 解 求不定积分 换元 回代 注: 一般情形: 例 解 计算不定积分 换元 回代 注: 一般情形: 例 解 计算不定积分 注: 对变量代换比较熟练后, 可省去书写中间变量 的换元和回代过程. 例 求 . 解 例 求 ⑴ ⑵ 解 ⑴ ⑵ 例 解 求不定积分 换元 回代 注: 一般情形: 例 求下列不定积分 解 例 求下列不定积分. 解 (1) (2) 原式 原式 例 求下列不定积分 (1) 解 原式 例 解 求不定积分 原式 注: 利用平方差公式进行根式有理化是化简积分计 算的常用手