黄景炽-医科数学第五章.pptVIP

(2) 线性非齐次方程 讨论 两边积分 非齐次方程通解形式 与齐次方程通解相比 常数变易法 把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法. 实质 未知函数的变量代换. 作变换 积分得 一阶线性非齐次微分方程的通解为 对应齐次方程通解 非齐次方程特解 解 例 例 解 解 解 * * * * 第一节 微分方程的基本概念 第五章 微分方程 解 一、微分方程的定义 1 问题的提出 解 代入条件后知 故 开始制动到列车完全停住共需 (1)微分方程的定义 凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程. 例 实质 联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式. 2 微分方程的定义与分类 微分方程的阶 微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数称为微分方程的阶. 分类1 常微分方程, 偏微分方程. 一阶微分方程 高阶(n)微分方程 分类2 (2) 微分方程的分类 分类3 线性与非线性微分方程. 分类4 单个微分方程与微分方程组. 微分方程的解 代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之为该方程的解. 微分方程的解的分类 二、微分方程的解 (1)通解 微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同. (2)特解 确定了通解中任意常数以后的解. 解的图象 微分方程的积分曲线. 通解的图象 积分曲线族. 初始条件 用来确定任意常数的条件. 过定点的积分曲线; 一阶 二阶 过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线. 初值问题 求微分方程满足初始条件的解的问题. 解 所求特解为 微分方程的初等解法 初等积分法. 求解微分方程 求积分 (通解可用初等函数或积分表示出来) 第二节 可分离变量的微分方程 一、可分离变量的微分方程的求解 可分离变量的微分方程. 解法 为微分方程的解. 分离变量法 1 分离变量法 例 求解微分方程 解 分离变量 两端积分 2 典型例题 通解为 解 例 解 由题设条件 衰变规律 的微分方程. (2)解法 作变量代换 代入原式 可分离变量的方程 (1) 两种特殊可分离变量方程 例 求解微分方程 微分方程的解为 解 例 求解微分方程 解 微分方程的解为 解法： (2)形如 的方程 可分离变量的微分方程. 解 代入原方程 原方程的通解为 例：求方程 的通解。 解 求下列方程的通解 解 第三节 一阶线性微分方程 一阶线性微分方程的标准形式 上方程称为齐次的. 上方程称为非齐次的. 例如 线性的; 非线性的. 齐次方程的通解为 (1) 线性齐次方程 一阶线性微分方程的解法 (使用分离变量法) * * * *