材料力学1—轴向拉伸与压缩4.ppt

* * * * 1.7 拉伸、压缩超静定问题 1.7.1、超静定问题及求解方法 静定问题: 构件的约束反力和杆件的轴力可以用静力平衡条件求出，这种情况称作静定问题。 超静定问题: 只凭静力平衡方程已不能解出全部未知力，这种情况称做超静定问题。 超静定的次数: 未知力数超过独立平衡方程数的数目, 称作超静定的次数。 变形协调方程: 在静不定问题中，各部分变形之间必存在相互制约的条件，这种条件称为变形相容条件(变形协调方程)。 超静定问题的处理方法：平衡方程、变形协调方程、物理方程相结合，进行求解。 1.7.2、一般超静定问题举例 例：两端固定的等直杆AB横截面积为A，弹性模量为E，在C点处承受轴力P的作用，如图所示。计算A、B处的约束反力。 FRB B A C P FRA 解：1）平衡方程 这是一次超静定问题。 b l B A C P a 2）相容条件(变形协调条件)：杆的总长度不变 FRB B A C P FRA b l B A C P a 3）物理方程（胡克定律） 补充方程为 平衡方程为 FRB B A C P FRA b l B A C P a 解超静定问题的步骤： 根椐变形相容条件建立变形几何方程。变形几何方程的个数与超静定次数相等。 将变形与力之间的关系（胡克定律）代入变形几何方程得补充方程。 联立补充方程与静力平衡方程求解。 解超静定问题注意 画变形图时，杆的变形与假设的轴力符号要一致!!!! 例 图示平行杆系1、2、3悬吊着横梁AB(AB的变形略去不计)，在横梁上作用着荷载G。如杆1、2、3的截面积、长度、弹性模量均相同，分别为A，l，E。试求1、2、3三杆的轴力N1，N2，N3。 A B C G 1 2 3 a a l 解：(1)平衡方程 这是一次超静定问题，且假设均为拉杆。 A B C G 1 2 3 a a l A B C G 1 2 3 FN3 FN2 FN1 Fx (2) 变形几何方程,在本题中,假设3根杆都受拉。 (3) 物理方程 A B C 1 2 3 A C B Δl3 Δl1 Δl2 A B C G 1 2 3 a a l 补充方程 (4) 联立平衡方程与补充方程求解 A B C 1 2 3 A C B Δl3 Δl1 Δl2 A B C G 1 2 3 a a l A B C G 1 2 3 a a l 讨论:如假设1杆受压，2、3杆受拉，如何进行分析计算？ 1.7.3 温度应力 温度变化将引起物体的膨胀或收缩。静定结构可以自由变形，当温度均匀变化时，并不会引起构件的内力。但如超静定结构的变形受到部分或全部约束，温度变化时，往往就要引起内力。 1.7 拉伸、压缩超静定问题 对上述两端固定的AB杆来说，由平衡方程只能得出 这并不能确定反力的数值，必须再补充一个变形协调方程。设想拆除右端支座，允许杆件自由胀缩，当温度变化为ΔT时，杆件的温度变形(伸长)应为 式中al 为材料的线膨胀系数。然后，再在右端作用FRB，杆件因FRB产生的缩短是 1.7 拉伸、压缩超静定问题 实际上，由于两端固定，杆件长度不能变化，必须有 这就是补充的变形协调方程。于是得 1.7 拉伸、压缩超静定问题 碳钢：a l＝12.5×10-6℃-1, E＝200GPa 可见当ΔT较大时，sT的数值便非常可观。为了避免过高的温度应力，在管道中有时增加伸缩节，在铁路钢轨各段之间留有伸缩缝，这样就可以削弱对膨胀的约束，降低温度应力。 1.7 拉伸、压缩超静定问题 开有圆孔的板条 带有切口的板条 因杆件外形突然变化而引起局部应力急剧增大的现象，称为应力集中。 1.8 应力集中的概念 理论应力集中系数： 1.8 应力集中的概念 σmax是发生应力集中的横截面上的最大应力 σ 0 是该截面上的名义应力（拉压时即为平均应力） 1.8 应力集中的概念 各种材料对应力集中的敏感程度并不相同。塑性材料有屈服阶段，当局部的最大应力smax达到屈服极限ss时，该处材料的变形可以继续增长，而应力却不再加大。如外力继续增加，增加的力就由截面上尚未屈服的材料来承担，使截面上其他点的应力相继增大到屈服极限，如图所示。这就使截面上的应力逐渐趋于平均，降低了应力不均匀程度，也限制了最大应力smax的数值。因此，用塑性材料制成的零件在静载作用下，可以不考虑应力集中的影响。 脆性材料没有屈服阶段，当载荷增加时，应力集中处的最大应力smax一直领先，首先达到强度极限sb，该处将首先产生裂纹。所以对于脆性材料制成的零件，应力集中的危害性显得严重。这样，即使在静载下，也应考虑应力集中对零件承载能力的削弱。至于灰铸铁，其内部的不均匀性和缺陷往往是产生应力集中的主要因素，而零件外形改变所引起的应力集中就可能成为次要因素，对零件的承载能力不一定造成明显的影响。 当零件受周期