对f(x+a)=±f(a-x)_、f(x+a)=±f(x-a)_型的对称性、周期性的研究.整理后.doc

对、型 及奇偶型函数的对称性、周期性的重要结论探究 　 新课程理念很重要的一个思想方法就是类比推理的应用。学生在高考中经常遇到与对称性、周期性有关的试题，却无从下手。本人就、等式及与奇偶函数有关的对称性、周期性进行了一系列的探究，归纳总结出了比较重要的结论，并介绍了记忆方法，希望对高中学生有所帮助。 一、型 1、型重要结论 结论1：，关于直线对称。（由图像易得，证明略） 对称轴的求法： 结论2：，，为偶函数。 【证明】：由结论1得关于直线对称， ∴关于轴对称，即为偶函数。 结论3（拓展）：与关于对称。（读者自己证明） 对称轴的求法：令，所以。 2、 ［］型重要结论 结论4：，关于点对称； 对称中心点的坐标的求法：； 【证明】：∵由结论1得关于对称； 又∵关于轴对称， ∴由函数图像易得关于点对称。 结论5：，关于对称。 【证明】：由结论４对称中心算法，可得结论５成立。 结论6：，为奇函数。 【证明】：∵由结论1可得关于直线对称。 又∵关于轴对称， ∴由函数图像易得关于关于点对称。 ∴关于点点对称。即是奇函数。 结论7（拓展）：与关于对称。（读者自己证明） 3、记忆方法：括号内式子之和能消去关于直线（或点）对称。 ①、关于直线对称； ②、关于点对称； 二、型 1、重要结论 结论8：，，若，则是周期函数。 周期的求法：反复用去替换式中的，直至出现为止。 ①、证明，，若，则是以的周期函数。 【证明】：∵ ∴， 所以是周期函数，且周期。 ②、证明，，若，则是以的周期函数。 【证明】：用替代式中的得 ∴ ∴ ∴， 所以是周期函数，且周期。 结论9：，，若，则是周期函数，且。 【证明】：用替代式中的得 ∴ 所以是周期函数，且。 结论10：，，若则，是周期函数，且。 【证明】：用替代式中的得 ∴（ⅰ） 又用替代（ⅰ）式中的得 ∴ 所以是周期函数，且。 2、记忆方法：括号内式子之和不能消去是周期函数。 ①、的周期是； ②、的周期是。 三、是奇（偶）函数型 1、是偶函数 结论11：若是偶函数且又关于对称，则为周期函数，. 【证明】：由是偶函数得 由关于对称根据结论1得 （ⅱ） 用替换（ⅱ）式中的得， ∴为周期函数，且 结论12：若是偶函数且又关于对称，则为周期函数，. 【证明】：由是偶函数得 由关于对称，根据结论4得 ， ∴（ⅲ） 用替代（ⅲ）式中得 所以是周期函数，且周期。 结论13（类推）：，，若关于且对称，则 为周期函数，； 【证明】：由关于且对称，根据结论1得 ， ∴（ⅳ） 用替换（ⅳ）式中的得 即 所以是周期函数，且周期。 结论14（类推）：，，若关于直线对称，且又关于点对称，则为周期函数，； 【证明】：由结论1，结论4得 ， ∴ 由结论8得的周期; 的周期 即 所以是周期函数，且周期。 2、是奇函数 结论15：若是奇函数且关于对称，则为周期函数，。(读者自己证明) 结论16：若是奇函数且关于对称，则为周期函数，；(读者自己证明) 结论17（类推）：若，，关于且对称，则为周期函数，；(读者自己证明) 结论18（类推）：若，，关于且对称，则为周期函数，；(读者自己证明) 3、记忆方法： 约定：只有对称轴（或只有对称中心）称作具有同类双对称性；既有对称轴又有对称中心称作具有异类双对称性。 属于同类双对称周期为两者间距离之2倍； 属于异类双对称周期为两者间距离之4倍； 四、应用 1、函数的定义域为R，若与都是奇函数，则( ) (A) 是偶函数 (B) 是奇函数 (C) (D) 是奇函数 【答案】：D 【解析】：与都是奇函数∴关于点、对称，根据结论17 是周期的周期函数 ，∵是奇函数，∴是奇函数，故选D。 2、已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是增函数,则 （A）. （B）. （C）. （D）. 【答案】：D 【解析】：∵由结论8可得，是以周期的周期函数， ∴, , 又∵是定义在R上的奇函数关于对称，由图可得：，即,故选D。 3、已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则的值为（）。 A．　 B．　 　C．　 　D． 【答案】C 【解析】的周期为2，如右图。，故选C。 4已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是增函数,若方程在区间上有四个不同的根,则= 。 【答案】：－8 【解析】：因为定义在R上的奇函数，满足, 所以,关于直线对称且, ∵，由结论8可知是以8为周期的周期函数,又因为在区间[0,2]上是增函数,所以在区间[-2,0]上也是增函数. 如图所示,那么方程在区间上有四个不同的根,不妨设由对称性知所以。 5 页 共 6 页