(新课程)高中数学《1.3.1函数的单调性与导数》课件1 新人教A版选修2-2.ppt

1.3.1利用导数判断函数的单调性 知识与能力目标： 1．理解导数符号与函数的单调性关系； 2．会利用导数判断函数的单调性； 过程与方法目标： 讲练结合、讨论等方法，同时利用提示等方 法为学生降低难度 情感态度与价值观目标： 通过对导数与函数的单调性的关系学习，进一步加强知识的应用能力。 教学目标 教学重点 导数符号与函数的单调性关系，用导数解决函数的单调性； 教学难点 导数符号与函数的单调性关系。 知识链接 1. 函数的单调性: 对于任意的两个数x1，x2∈I，且当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么函数f(x)就是区间I上的增函数. 对于任意的两个数x1，x2∈I，且当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么函数f(x)就是区间I上的减函数. 2. 导数的概念及其四则运算 课前预习 竖直上抛一个小沙袋，沙袋的高度h是时间t的函数，设h=h(t)，其图象如图所示。 横轴表示时间t，纵轴表示沙袋的高度h,设沙袋的最高点为A，其横坐标为t=t0. 先考察沙袋在区间(a，t0)的运动情况： 根据生活经验，我们知道，在这个区间内，沙袋向上运动，其竖直向上的瞬时速度大于0， 即在区间(a，t0)， 我们说在此区间内，函数h=h(t)是增函数. 再考察沙袋在区间(t0，b)的运动情况： 在这个区间内，沙袋向下运动，其竖直向上的瞬时速度小于0，即在区间(t0，b)， 我们说在此区间内，函数h=h(t)是减函数。 我们可以用s(t)与瞬时速度v(t)的关系来说明这个法则的正确性： 当v(t)=s’(t)0时，s(t)是增函数； 当v(t)=s’(t)0时，s(t)是减函数。 我们还可以用函数曲线的切线斜率来理解这个法则； 当切线斜率为正时，切线的倾斜角小于90°，函数曲线呈上升状态； 当切线斜率为负时，切线的倾斜角小于90°，函数曲线呈下降状态. 如果函数y=f(x)在x的某个开区间内，总有f ’(x)0，则f(x)在这个区间上是增函数； 如果函数y=f(x)在x的某个开区间内，总有f ’(x)0，则f(x)在这个区间上是减函数。 例1．如图，设有圆C和定点O，当l 从l0 开始在平面上绕O点匀速旋转(旋转角度不超过90°)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，它的图象大致是下列四种情况中的哪一种？ 解：由于是匀速旋转，阴影部分的面积S(t)开始和最后时段缓慢增加，中间时段S增速快， 图A表示S的增速是常数，与实际不符，图A应否定； 图B表示最后时段S的增速快，也与实际不符，图B也应否定； 图C表示开始时段与最后时段S的增速快，也与实际不符，图C也应否定； 图D表示开始与结束时段，S的增速慢，中间的时段增速快，符合实际，应选D。 例2．确定函数f(x)=x2－2x+4在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数. 解：f ’(x)=(x2－2x+4)’=2x－2. 令2x－2＞0，解得x＞1. ∴当x∈(1，+∞)时，f ’(x)＞0， f(x)是增函数. 令2x－2＜0，解得x＜1. ∴当x∈(－∞，1)时，f ’(x)＜0， f(x)是减函数. 例3．找出函数f(x)=x3－4x2+x－1的单调区间。 解：f ’(x)=3x2－8x+1， 令3x2－8x+10，解此不等式得 或 因此，区间 为f(x)的单调增区间； 令3x2－8x+10，解此不等式得 因此，区间 为f(x)的单调减区间。 例4．证明函数f(x)= 在(0，+∞)上是减函数. 证明：∵f ’(x)=( )’=(－1)·x－2=－ ， ∵ x0，∴x20， ∴－ ＜0. 即f ’(x)＜0， ∴f(x)= 在(0，+∞)上是减函数. 例5．求函数y=x2(1－x)3的单调区间. 解：y’=[x2(1－x)3]’ =2x(1－x)3+x2·3(1－x)2·(－1) =x(1－x)2[2(1－x)－3x] =x(1－x)2·(2－5x) 令x(1－x)2(2－5x)＞0，解得0＜x＜ . ∴ y=x2(1－x)3的单调增区间是(0， ) 令x(1－x)2(2－5x)＜0， 解得x＜0或x＞ 且x≠1. ∵ x=1为拐点， ∴ y=x2(1－x)3的单调减区间是 (－∞，0)，( ，+∞) 达标练习 1．函数y=3x－x3