多尺度分析及其数值方法的若干改进研究.pdf

摘要 因为复合材料具有许多非常好的性质:如高强度、高硬度、抗高温等等.它们 在许多普通与高科技的工业领域中有着非常重要的应用.周期性及周期性结构的复 合材料问题在数学上均可以归结为小周期系数的偏微分问题.对于这类方程，尚未 有解析方法可用，而直接采用有限元方法和有限差分方法来数值求解又需要使用非 常细的网格，需要的计算量与存贮量都非常大.故科学家们针对它们发展了一种非 常有效的近似求解的方法:多尺度分析方法W-1101等. 自发现以来，多尺度方法越来越显示出它强大的生命力，它总是在不断的发展 之中 而本文就是关于多尺度方法与理论及其数值方法的某些研究.其主要工作如 下: 1针对系数为小周期函数的一维两点边值问题提出了一种有效的多尺度渐近展 开方法. 2对于右端奇异且系数振荡的二维与三维椭圆型问题分别给出了均匀化方法的 逐点误差估计，并在此基础上给出了一个精度更高的近似解， 3对于带振荡系数的固定边界问题，给出了均匀化方法某种形式的局部误差估 计.并针对该方法在边界附近的应变与应力误差比较大这一问题，提出了一种有效 的数值算法，给出了该算法在最大模意义上的应变与应力误差估计，作者并把该方 法推广到了谱问题. 4当振荡系数函数光滑性能不好时，采用均匀化方法求它的均匀化参数的误差 比较大 针对这一问题，本文提出了一种新的数值求振荡系数函数的均匀化参数的 方法，并同时提出了一种有别于经典的川的数值求解系数振荡的椭圆型问题的方 法，作者也把此方法推广到谱问题. 关键词二复合材料， 振荡函数， 多尺度方法. ABSTRACT SomeImprovementsaboutMufti-scaleAnalysisandItsNumericalMethod Wenming-He(Multi-scaleFiniteElementMethod) DirectedbyJun-zhiCui Compositematerialshavebeenwide卜usinginhightechnologyengineeringaswellas ordinaryindustrialproductssincetheyhavemanyelegantqualities.,suchashighstrength,high stiffness,hightemperatureresistance,corrosionresistance,andfatigueresistance.Mostofthecom- positematerialshavesmallperiodicconfigurations.staticanalysisofthestructuresofcomposite materialsusuallyleadstotheboundaryvalueproblemsofellipticpartialdifferentialequations withsmallperiodiccoefficients.Solvingtheseproblems饰classicalfiniteelementmethodsisvery difficultbecauseitusuallyrequiresveryfinemeshesandthisleadstotremendousamountofcom- putermemoryandCPLtime.Inordertosolvethiskindofproblems,themultiscaletuethod11-101 isintroduced. Nowthemulti-scalemethodisdevelopingrapidly.Inthispaper,westudy-multi-scalemethods solvingtheboundaryvalueproblemsofellipticPDEwithsmallperiodiccoefficients 1Forthetwopointboundaryvalueproblemwithsmallperiodicstructure,annewasymp- toticexpansionmethodisproposedtoobtaini