平面向量【概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结】必威体育精装版版.doc

概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结 平面向量 一．向量有关概念： 1．向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，如，或或a；向量的三要素：起点、方向、长度。注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。 2.向量平移：（1）、平移变换：在坐标平面内，把图形F上所有的点都平移同一向量，到F的位置。这种从图形F到F的位置变换叫平移变换。通俗来讲，就是图形在移动过程中本身不发生任何转动。 （2）、平移公式：设P（x，y）是F上任意一点，平移向量后，对应F上点P（x，y）。 由题意知： 即：对应点坐标=原点坐标+平移向量坐标 如：已知A（1,2），B（4,2），则把向量按向量＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（答：（3,0））A（1,2）向量＝（－1,3）=(1-1,2+3)=(0,5) 把点B（,2）向量＝（－1,3）=(4-1,2+3)=(3,5)， ∴ 答案：把向量按向量＝（－1,3）平移后得到的向量是把向量按向量＝（－1,3）平移把向量的首末端点按向量＝（－1,3）平移。把向量按向量＝（－1,3）平移平移（3,0），即向量。向量平移答案为（3,0），=0注意零向量的方向是任意的； 4．单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与共线的单位向量是)；单位向量的方向是不确定的。 5．相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；两个向量相等，与向量起点、终点的位置无关。 6．平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：∥，规定零向量和任何向量平行。∥ 提醒： ①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； ②两个向量平行与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合； ③平行向量无传递性！（因为有)； ④三点共线共线； ⑤两个非零向量平行的充要条件是这两个向量所在直线平行或重合。 ⑥两个平行的非零向量在其方向与模两个要素上可能出现以下四种情况： Ⅰ、方向相同，长度相等； Ⅱ、方向相同，长度不等； Ⅲ、方向相反，长度相等； Ⅳ、方向相反，长度不等； 7．相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－。 提醒：（1）任意向量与都是一对相反向量，记作= （2）任一向量和它相反向量的和是零向量，即 如 下列命题：（1）若，则。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若，则是平行四边形。（4）若是平行四边形，则。（5）若，则。（6）若，则。其中正确的是_______ （答：（4）（5））(解答：（1）若，表示模相等，方向可以是任意的。表示长度（模）相等且方向相同。∴命题不成立但逆命题成立；即是的必要不充分条件；（2）两个向量相等是指：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，与起点终点无关；两个向量起点相同，终点相同是两个向量相等的充分不必要条件；（3）若，即长度相等且方向相同的两个向量但方向相同的两向量可能共线。AB与CD可能共线。是是平行四边形的必要不充分条件。（4）∵四边形是平行四边形，∴平行四边形的对边平行且相等，∴是对的；是平行四边形是的充分不必要条件。（5）根据相等向量有传递性，∴若，则是对的；（6）平行向量无传递性！（因为有)）故答案：其中正确的是（4）（5） 二．向量的表示方法： 1．几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后； 2．符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，，等；印刷用黑体字如b、c 3．坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与轴、轴方向相同的两个单位向量，为基底，则平面内的任一向量可表示为，称为向量的坐标，＝叫做向量的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。 三．平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数、，使a=e1＋e2，则______（用含的式子表示） A. B. C. D. 解答：根据平面向量的基本定理设 即（-1,2）= 根据向量相等得解得 ∴ （答：C.）； （2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 A. B. C. D. 解答：根据平面向量的基本定理；e1和e2是同一平面内的两个不共线向量 A. 共线，规定零向量和任何向量平行 B. 不共线；假设共线，即，则无解。 C. 共线 D. 共线 选B （答：B）； （3）已知、分别是的边上的中线,且,则可用向量表示为_____ 解答：如图：延长BE至F，使EF=BE，连接AF，CF。 ∵AE=EC，EF=BE，∠AEF=∠CEB ∴△AEF≌△CEB ∴AF=BC即，且 ∴……