数值计算方法习题及答案.doc

第一章 引论 1．假设原始数据是精确的. 试按三位舍入运算计算 （164+0. 913）-（143+21）和（164 -143）+（0. 913 - 21）的近似值，并确定它们各有几位有效数字. 2．证明：的相对误差约等于的相对误差的1/2. 3．设实数的位进制浮点机器数表示为. 试证明 ， 其中的记号*表示+、-、、/ 中一种运算. 4．改变下列表达式使计算结果比较精确： （1） （2） （3） . 5．求方程 的两个根，使它至少具有四位有效数字. 6．设关于精确数有3位有效数字，估计的相对误差. 对于，估计对于的误差和 相对误差. 7. 设为矩阵,为维向量,而且证明: 其中的元素满足: 8．真空中自由落体距离与时间的关系由下面公式确定： ， g是重力加速度. 现设g是准确的，而的测量有秒的误差. 证明当增加时距离的绝对误差增加，而 相对误差却减少! 9．序列满足递推关系：. 取及，试分别计算，从 而说明该递推公式对于计算是不稳定的. □ ?第二章 多项式插值 1. 利用Lagrange插值公式求下列各离散函数的插值多项式（结果要简化）： （1） -1 0 1/2 1 -3 -1/2 0 1 （2） -1 0 1/2 1 -3/2 0 0 1/2 2. 设是以为节点的次多项式插值问题的基函数. （1）证明 （2）证明 . 3. 在节点处取值的次数的多项式可写成 其中是某个常数.确定并证明此公式. 4. 设.考虑以为节点的Lagrange插值公式当时的极限. 证明成立公式 ， 其中 ， 并计算. 5. 给出的数值表 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.70010 0.40160 0.10810 -0.17440 -0.43750 试利用这个表求在0.3与0.4之间的根. 6. 给出的数值表 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.00000 1.23368 1.55271 1.99372 2.61170 试利用Neville法求的近似值. 7.若 ，问 ; . 8.设 ，证明 . 而且 . 9.证明下列关系的正确性: (1) (2) (3) 10. 利用差分性质证明: . [提示:考虑差分,并利用差分和函数值可互相表示] 11. 分别利用Newton向前与向后插值公式及数据 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00000 1.22140 1.49182 1.82212 2.22554 计算与的近似值. 12.给出自然对数和它的导数的数表如下: 0.40 0.50 0.70 0.80 -0.916291 -0.693147 -0.356675 -0.223144 2.50 2.00 1.43 1.25 (1) 利用Lagrange插值公式求. (2) 利用Hermite插值公式求. 13.求次数的多项式，满足 . 14.寻找一次多项式满足插值条件： . 15.设，求在区间上的分段线性插值函数，并估计误差，取等距节点，且. 16.设，求在区间上的分段三次Hermite插值函数，并估计误差，取等距节 点且. 17. 设并且又知求证 18.对任意非负整数，证明：. 19.设，如下样条函数 当在和上变为一次多项式时，称为三次自然样条.证明：当且仅当系数满足下列 关系时，才是三次自然样条. 20.已知插值条件为 1 2 3 2 4 12 1 -1 求相应的三次插值样条函数. 21.求证 . 22.证明等距样条可定义为 . 23.证明B样条的正性: 当. □ 第三章 最佳逼近及其实现 (习 题) 1. 证明：若为狭义线性赋范空间，为的有限维子空间， 则对，在中存在惟一的元素的最佳逼近元素. 2. 设，定义， 问是否为内积？令空间, 若将限制在子空间中，上述是否构成内积. 3. 设，相应的次Bernstein多项式定义为 ， 其中.证明：，对，和成立. . 4. 设.若设在上的一次最佳一致 逼近多项式为. （1） 求证： . （2） 利用（1）的结论，求，在上的一次最佳一 致逼近多项式，估计误差. 5. 选取常数，使达到极小，又问该解是否惟一. 6.