数学分析思想在中学数学解题中的应用.doc

摘要 本文从数学分析与中学数学的联系入手，通过对一些具体的实例分析，论述了极限、积分学、微分学在解决中学数学中有关于不等式与恒等式的证明、函数极值、方程根的讨论、函数的性态、几何问题等方面问题中应用. 关键词：数学分析 中学数学 极限 微分 积分  Abstract This article from mathematical analysis and the contact of elementary mathematics, through some specific examples，discusses the limits, calculus, differential calculus in the application of the Elementary Math Inequality and Identity on the evidence of extreme value function, Equation for discussion Function of state and other aspects of geometric problems. Key words: mathematical analysis elementary mathematics limit differential integral  目录 前言……………………………………………………………………………………1 第一章 极限思想在中学数学解题中的应用 ………………………………………2 第二章 一元微分学在中学数学解题中的应用 ……………………………………3 第三章 积分法原理和方法在中学数学解题中的应用……………………………11 致谢辞 ………………………………………………………………………………14 参考文献 ……………………………………………………………………………15  数学分析思想在中学数学解题中的应用 前言 数学分析是高师数学系中一门很重要的基础课程，它充分体现了数学的特性，具有高度的抽象性、体系的严谨性及应用的广泛性. 它既是高师数学后继课程的基础，又对中学数学具有切实的指导意义. 数学分析中包含了许多中学数学内容另外，数学分析用极限的方法可以居高临下地洞察各种各样的函数，了解它们之间的内在联系，掌握处理问题的统一方法. 把数学分析的思想、方法、知识应用于解决中学数学问题上，能起到以简驭繁的作用，尤其是在不等式与恒等式的证明、求函数极值与切线及单调区间、方程根的讨论、研究函数的性态与作图以及解决实际问题等方便，不仅可以简化解法，而且能使问题的研究更为深入、全面.  第一章 极限思想在中学数学解题中的应用 数学分析之所以能解决中学数学所不能解决的问题，其根本原因就是数学分析在中学数学的基础上，引进了一个新的思想方法，即极限法. 极限方法是数学分析的基础，也是数学分析解决问题贯彻始终的基本方法. 而极限又体现了这样一个哲理：稳定不变的事物是过程、运动的结果. 中学数学中遇到的问题一般都与定值、定形等有关, 即“静”的问题, 按照上述观点, 便可将其看作某种“动”的结果从而以动求静，实现问题的解决. 例1 如图1-1求五棱各侧面顶角之和 的取值范围. 解：此题初看起来不好计算, 也没给多少己知条件，无从下手之感，试想，如果让点动起来点与、、、、五点之间有五根橡皮筋相连，将点从平面上提起来，即成为一个五梭锥，且提得越高, 越小，不难得出取值范围为 例2 已知数列，且数列为等比数列，求常数. 解：设的公比为，则 对上式两端取极限：当时，；当时，. 此时，，即 整理得，即，得. 故常数或. 第二章 一元微分学在中学数学解题中的应用 .1不等式与恒等式的证明 不等式与恒等式的证明方法多种多样，没有较为统一的方法，往往需要较高的技巧. 利用数学分析的知识和方法，例如微分中值定理、函数的增减性、极值判定法等来证明，可以简化证明过程，降低技巧性. 例1 证明不等式：和. 证明 设，则，所以递增. 又，故，即. 设，则. 由上面已证得的结果：知，所以递增，且因即知，即. 例2 试证当时，有. 证明 当时，等式显然成立. 当时，对等式左边求导数，得到 . 所以，当时， . 故. 例3 若且是正整数，则. 证明 定义，则 . 令，得驻点. 易知，当时，；当时，，从而由极值的判别法知：在取极小值，所以，即 . 例4 设，证明：. 证明 定义，则由拉格朗日中值定理，得存在，使得 ， 即 . 又因为，所以 ， 故 . .2求函数的极值、切线与单调区间问题 由导数的几何意义，可以很容易地求得曲线的切线，也可方便地求处函数的单调区间和