数学悖论趣谈.doc

数学悖论 ??? 数学史是矛盾斗争的历史，数学的内容中包含着各种矛盾对象。它们中有许多重要的，深刻的，也有许多一般的，比如：在数学概念方面有正有负，直与曲，平行与相交，已知与未知，常量与变量，有限与无限，离散与连续，精确与近似，必然与或然；在数学运算方面有加法和减法，乘法与除法，乘方与开方，微分与积分，映射与逆映射等，在数学发展上这些矛盾曾不断地以一些颇为有趣的“怪问题”的形式出现，这些问题有的似是而非，有的似非而是，有的模棱两可，扑朔迷离，使人真伪难辨。??? 下面介绍几个著名而极有趣的奇谈怪论，希望能对提高会员数学学习兴趣，开阔会员眼界起到一定积极作用。 1、 [伽利略悖论]每个人都知道“整体大于部分”这个事实，而伽利略在1638年提出“部分可以等于整体”的悖论。在数学上两个集合元素个数相等指它们之间能建立一一对应的关系。众所周知：1，4，9，16，… ，…是自然数全体的一部分，或者说开方数的个数比自然数的个数要少些，一般人认为这是真理。首先对这事实怀疑的是伽利略，他利用关于数学上的“相等”这种方法，发现自然数的集合1，2，3，…与其平方数之集12，22，32，…可以建立一一对应关系，因此从个数上来说它们应当相等。事实上，公理“整体大于部分”是从事物的有限量上总结出来的，而且仅适用于有限量，因此当被研究的对象是无限领域时，这条公理就失效了。2、 [罗素悖论]塞维儿村的所有刮胡子习惯的人可分为两类：一类是自己给自己刮胡子的，另一类是自己不给自己刮胡子的。现在村上有一个有刮胡子习惯的理发师自己约定：“给且只给村子里自己不给自己刮胡子习惯的人刮胡子。”试问，这个理发师的胡子由谁来刮？[分析] 如果他自己给自己刮胡子，即他就属于自己给自己刮胡子的一类，按约定他又不应该给自己刮胡子，因知他是一个自己不给自己刮胡子的人。另一方面，如果他属于是自己不给自己刮胡子一类，即自己不给自己刮胡子，可按他自己的约定，他又必须自己给自己刮胡子，所以他又是属于自己给自己刮胡子的一类。这两类人是不同的,用数学语言说他们的交集是空集,按上述推理现在这个理发师又要给自己刮胡子,又不能给自己刮胡子,对他自己来说是左右为难;而对集合定义来说是自相矛盾！这个悖论以其意义简单明确揭开了当时数学基础康特尔集合论本身的矛盾重重的盖子，震惊了整个数学界。数学家弗雷格刚要出版的《算术的基本法则》第二卷时，收到罗素的信，他只得将自己为难的心情写在了第二卷的末尾：“一位科学家不会碰到比这更难堪的事了，即在工作完成之时，它的基础跨掉了。当本书即将等待付印的时候，罗素先生的一封信把我置于这种境地。”连大数学家庞加来后来也不得不改口说：“我们设置栅栏，把羊群围住，免受狼的侵袭，但是很可能在围栅栏时就已经有一条狼被围在其中了。”可以这么说它引起了数学王国的一场大地震，动摇了整个数学王国的基础，使号称“天衣无缝”“绝对正确”的数学陷入了自己自相矛盾的危机。3、 [秃子悖论]人为指定一个自然数 ，当 就叫做秃头，当 就不叫秃头。就秃头问题来说，任何 都应该被宣判为不合理。显然张三正好有 根头发，李四正好有 +1根头发，仅一根之差，便分楚汉，这难道合理吗？于是约定：若有 根头发的人秃，有 +1根头发的人亦秃，这时就会导致“秃头悖论”：一切人都是秃头。[分析] 任取一个人，设n表示他的头发根数，下面对n应用数学归纳法：1）n=0时，这个人显然是秃头；2）假定有 根头发时这人是秃头，由约定立知：头发只比 多一根之人也必然是秃头。故由数学归纳法知对一切 均成立命题。亦即世界上所有人都是秃头。注：如果将约定改为：“若有 根头发者不秃，则有 -1根头发者也不秃。可以得出“光头不是秃头”结论。这悖论反映了精确与模糊之间的矛盾，对于模糊的事物，比如秃与不秃，没有绝对的界限。虽然在微小的量变之中已经蕴涵着质的差别，然而这种差别绝对不能仅用“是”与“非”这两个字来刻画。因此，数学归纳法这种只适用精确的方法，不能直接搬到模糊现象中来用。6、[芝诺悖论]芝诺是古希腊著名的数学家和哲学家,他曾提出过三个著名的诡辩,其中最有名的是“阿其里斯”悖论 ，采用通俗的方式叙述：假如乌龟和阿其里斯赛跑，（阿其里斯是希腊神话中的神仙太保），只要乌龟的起跑点领先一段距离，芝诺说阿其里斯永远追不上兔子。比方说：人的速度是乌龟的10倍，又设龟在人前面100处跑，他们同时开跑，当阿跑了100米，到达乌龟的出发点时，龟已经向前爬了10米，阿再追10米，龟又爬了1米，阿又追了1米，这时龟又爬了0.1米，…这样如此下去，以至无穷，他们永远相隔一小段距离，换言之，阿总在龟之后，即永远追不上乌龟。这反映了连续与离散的矛盾！ 人口爆炸Ｍ： 近来，我们听到很多关于地球上人口增长多么快的讨论了。 Ｍ： 宁尼夫