数学物理方法(刘连寿第二版)第07章习题.doc

第七章 习题答案 7.1-1将Helmholtz方程在柱坐标系中分离变量。 设代入上面的方程有: 两边同时除以，并移项得： 上式左边与无关，右边与无关，令左右两边都等于,即： 右边为： ① 而左边有： 两边同时除以，并移项得: ② 和： ③ Helmholtz方程在柱坐标系下可分解为①②③三个常微分方程。 7.1-2 将三维热传导方程在球坐标系中分离变量。 解: 在球坐标系中的表示式为: 设，代入上述方程有: 方程两边同时除以并移项有: 左右两边互不相关但相等，只能为常数，设为。 有: ① ② 对方程①，设，代入①有: ③ ④ 对方程②，设，代入②有: 移项并乘以有： 上式可分解为： ⑤ 变形为： ⑥ 这样，原方程分解为③④⑤⑥四个常微分方程。 7.2-1 求Hermite方程在领域内的解 解：因为，所以为方程的常点。 故在领域内方程有形如的解。 将的展开式代人Hermite方程有： 整理得： 所以有： 得到： 收敛半径 前几项： ik， 即： 其中： 7.2-2 判断是下列方程的常点还是奇点，根据这一判断，写出解应有的形式，并用幂级数解法，求其不含对数项的解。 （1）拉盖尔（Laguerre）方程 解：将方程化为标准形式：，则，， 所以，为，的一阶极点，则为方程的正则奇点。 原方程有如下形式的解： 则： 将代入原方程有： 整理并消除后可得： 所以： 而判定方程为的最低次幂项（项）的系数所确定的方程，为： 于是，系数之间的递推关系为： 收敛半径 所以： ， ……………………………………………… 故一个特解为： 7.2-2（2）退化超几何方程。（不等于整数或零） 解：将方程化为标准形式：，则，， 为，的一阶极点，所以为原方程的正则奇点。 设 则： 将代入原方程有： 整理并消除后可得： 而判定方程为的最低次幂项（项）的系数所确定的方程，为 而系数之间的递推关系为： 则有： 收敛半径 因为不等于整数或零，所以不为整数或零，则方程有两个线性无关 的特解，下面分别求出 时：， ?????? 时， 所以可得到该方程的两个线性无关的特解：（令） 另解的其他形式（用函数表示） 7.2-2（3）虚余量贝塞尔方程 解：将Bessel方程化为标准形式 则 为的一阶级点，为的二阶级点。 故为原方程的正则奇点，有如下形式的特解设： ， 将代入原方程有： 整理并消除，化简有： 判定方程由的系数确定： 间的递推公式为 或 收敛半径 的系数为 所以： 而 时 所以： 若令，则有： 称为虚宗量（或变形）的贝塞尔函数，且。 同理可得当时，有 7.2-2（4），求邻域内的解。 解：将方程化为标准形式，，所以， ，而为的解析点，所以为方程的常点。 设方程在邻域内的解为： 则： 将代入原方程有： 整理得： 所以有： 得到： 收敛半径 前几项： 为任意值，所以： ， 所以： 或者用表示，其中 7.2-3 求勒让德（Legendre）方程在的邻域上的解。 解：将方程化为标准形式，，所以， ，而为的一阶极点，所以为方程的正则奇点。 设方程在邻域内的解为： 而 将在邻域内的展开式代入原方程有： 整理，化简有： 判定方程由的系数来决定，即： 所以递推关系为： 当时，得到： 或者： 收敛半径为： 所以： 令，则有 所以： 7.2-4 在的邻域上求解方程，其中为任意常数。 解：易知为方程的正则奇点，设其正则特解形式为： 所以： 将代入方程有： 整理并消除后可得： 判定方程为：，得到 且系数间的递推关系为： 所以： 收敛半径为： ，所以得到： ①时， ②， 7.3-2 求本征函数系的归一化因子。 解： 所以：，归一化因子为 即有： 7.3-4设有一均匀细杆，侧面是绝热的，两端点的坐标为和，在处温度为，而在另一端处，杆的热量自由散发到周围是的介质中去，即：，已知初始温度分布为，求杆上温度变化的规律。 解：热传导方程： 初始条件： 边界条件： 将方程分离变量，设，代入热传导方程和边界条件有： 和，， 这样得到：，下面求解本征值问题。 设，将边界条件代入有： 所以： 而 此方程决定本征值。 本征函数： 对于 代入初始条件： 下面求 故，其中 第 4 页 共 13 页