一维波动方程的付氏解.doc

第七章 一维波动方程的付氏解 一．引言 所谓数学物理方程，是指在物理学、力学、工程技术等问题的研究中归纳出来的一些偏微分方程以及某些常微分和积分方程。 微积分学产生以后，人们就设法把力学、物理学中的一些问题和规律，归结为微分方程进行研究。例如，早在十八世纪初，人们就将弦线的横向振动问题归结为著名的弦振动方程 并研究了它的解法。因此数理方程是一门历史悠久的学科。由于它具有紧密地，直接地联系着许多自然现象的特点，并且生产和科学技术的发展所提出的新课题和新方法，也在不断地丰富和更新它的研究内容，也促进着许多相关联的数学分支的发展，并从它们中引进许多解决问题方法，所以数理方程又是纯数学的分支和自然科学各部门之间的一个桥梁，它的基础内容已成为广大科技工作者必备的基础知识。 数理方程研究的范围十分广泛，本书主要讲述一些简单的典型方程，即波动方程、热传导方程和拉普拉斯（Laplace）方程等，因为这些方程很好的描述了一些典型的物理现象，能解决某些主要的问题，另一方面，通过这些问题的研究可以掌握一些方法，作为探讨新问题的参考。 数学物理方程研究的一般程序是：首先，将物理问题根据有关定律建立相应的数学模型；其次，对数学模型运用数学方法求出解；最后，对所得解通过数学的论证和客观实践的检验鉴定其正确性。本书把重点放在第二步，即在建立三类方程的各种定解问题的基础上，对各类数学模型的解法作了详细系统的介绍。在三种不同坐标系下，介绍了如何应用分离变量法求解混合问题和边值问题；应用行波法求解初值问题；最后介绍应用付立叶变换和拉普拉斯变换求解定解问题的积分变换法。 第一节 一维波动方程—弦振动方程的建立 重点：了解弦方程初、边值条件的分类和相应的物理意义 在数学物理中重要的问题之一便是弹性弦的振动问题。它简单而又常出现在数学物理的许多分支中，使其在偏微分方程理论中成为一个经典的例子。 一．弦振动方程的建立 设长度为，拉紧的、两端固定的弹性弦。 问题：对给定的初始扰动，确定弦上个点的运动规律，即建立描述弦上任一点处，在任意时刻，位移所满足的方程。 为了得到一个简单的方程，我们作如下假定： 弦是均匀柔软和具有弹性的，即弦不能抵抗弯曲，因而弦上的张力总是沿着弦的振动的切线方向。 弦的拱度远小于弦的长度，且振动弦的每一段没有伸长，因此角很小，且由胡克定律知，张力为定值。 运动的弦在任意点的斜率远小于1。 只有纯横向振动。 弦的重量远小于弦中的张力。 我们考虑一个微元，令T为端点处的张力，沿垂直方向，则有方程： (1.1) 其中线密度，是弧长，因为运动弦的斜率很小，故有, 又因很小，故，(1.1)式变为 (1.2) 但由微积分学我们知道，在时刻， ， (1.2)改写为 ， 令，有 (1.3) 其中，(1.3)称为一维波动方程，是弦的自由横振动方程。 注：如果在弦的每个单位长上作用有与振动方向平行的外力，则(1.1)改为， 最后有形式 ， 其中，可以是压力，万有引力，阻力等，这是弦的强迫横振动方程。 二 定解条件的提出 对于一个微分方程来说，如果存在一个函数，具有方程中所出现的各阶连续偏导数，将它带入方程成为恒等式，则称这个函数为方程的解。微分方程建立以后，目的就是要求出它的解。为了知道弦的振动情况，就需要求出相应的弦振动方程的解。 但是仅仅有了方程，还不足以求出方程的解，或者说还不足以完全确定具体的物理过程，因为一个具体的物理过程除方程之外，还与其初始状态以及所受的外界作用有关。用以说明初始状态的条件称为初始条件。用以说明边界上的约束情况的条件称为边界条件。 对弦振动的问题来说，初始条件就是给出弦在开始时刻的位移及速度，若以，表示初始位移和初始速度，则初始条件可表为 ， 对边界条件，由物理学知识，对弦振动来说，端点处所受的约束有以下三种情况： 1．已知端点的位移变化 2．已知在端点所受的垂直于弦线的外力的作用。 3 .已知端点的位移与所受外力作用的一个线性组合。 对应的边界条件，从数学角度看不外乎三种类型（以左点为例）： 第一类边界条件（Dirichlet边值）：在边界上直接给出了未知函数的数值， 若，则称为固定端点边界条件。 第二类边界条件(Neumann边值)： ， 当时，称为自由端点边界条件。 第三类边界条件(Robin边值)： ， 当时，称为弹性支撑边界条件。 注：1.无论哪一种方程，与无关的项称为自由项. 2.包括非零自由项的方程称为非齐次方程，自由项恒等于零的方程称为齐次方程。 对边界条件，当自由项恒为零时，这种边界条件称为是齐次的，否则称为非齐次的。 我们把边界条件和初始条件合称为定解条件。方程+定解称为定