三角函数解题中常用几种运算技巧例说.doc

例说三角函数解题中常用的几种运算技巧已发表 河南省人大附中郑州分校 刘凡 邮编（452370） （本文发表在2008.9《中学生理科应试》哈师大P17） 在三角函数解题中，通常要依据条件的结构特征，辅以适当的运算方法予以化简、变形，以期达到简化思路、顺利完成解题之目的。那么在三角函数解题中都有哪些常见的运算技巧呢？ 一 利用乘除运算 例：已知，，求的值。 解析：观察式的结构特征，不难发现式可变形为，式可变形为，先对两式两边平方且利用加法运算得： 例：已知，，求的值。 解析：由条件中两式的结构特征，对其左端进行和差化积有：， ，因为/得： 注：在三角函数解题中，灵活的应用“乘除、乘方、加减”等运算技巧，常常可以构造公式应用的条件或者把一些“分散”的条件联系起来，使得解题过程既巧妙又简单。 二 巧引参数 例：求证： 析证：由三角函数的平方关系式的结构特征，联想数列的有关性质不难发现：成等差数列。设则 命题得证。 例：已知求的值。 解析：由平方关系式得：成等比数列。于是利用等比数列的性质可以设元：则原式= 注：对有些三角函数问题，若仔细观察其条件或待求结论的结构特征，会发现它们隐含着某些特殊的性质，如果能巧妙的应用这些性质引参转化，常常可以找到一条解题新途径。 三 构造方程巧用判别式 例：设求之值。 解析：对已知条件应用和差化积和倍角公式得：即 ，现不妨视式为关于为未知数的一元二次方程，因的值存在，故判别式非负，即 由于知：代入得： 注：灵活应用三角函数公式变形条件，把它们转化为关于某一对象为未知数的一元二次方程，利用判别式的性质，常可以使问题巧妙获解。 四 巧用不等式的性质 例：已知锐角且满足求的值。 解析：现把已知条件转化为：即，而由相减得： ，由两个不等式可以得到即而 注：变形条件，灵活的应用三角函数性质，构建不等式进而利用不等式性质化简条件是本题思路的巧妙之处。故而灵活的应用不等式某些性质如：等是解决某些类型三角问题的一种很重要方法。 五 构作对偶式 例：求函数的最小值。 解析：本题求解关键是化简分子。现由分子的特殊结构，构建对偶关系式：设 ，，由+得： 注：对某些具有特殊结构的条件式，给予配上一个与其有着内在联系的关系式，然后实施某种运算，常可以使问题求解过程简单明了。 六 巧用常数 例：在中，已知求证：为定值。 析证：观察待证式的结构，不难发现其含有常数现就以此常数为如手点，把 代入待证式中得：原式 原问题便简单得以证明。 例：已知正数a, b和实数x满足求证： 析证：现将条件中的常数“1”换成代入条件中整理得： 亦即 七 转化应用向量运算 例：若x , y, z为锐角，且求证： 证明：由题设条件及待求式特点现构作向量： 因为 又由于 又得： 故 注：依据题设结构特征，构造向量，应用向量运算如数量积、摸等运算性质，可以顺利完成某些类型三角函数问题。 八 应用导数运算 例：设x为锐角，求证： 证明：现不妨构造函数则 显然时，时，又x是锐角，时，取得最小值。即