不等式成立问题.doc

不 等 式 成 立 问 题 北京市第八十中学 孙世林 此文发表于《数学教学研究》 不等式成立问题内容丰富、综合性强、难度大、与各部分知识联系紧密，是历年高考考察的重要内容；不等式成立问题有恒成立、能成立、恰成立三类问题； 我们看下面的例子： 例1：（2000年上海卷） （1）已知求实数的取值范围。 （2）已知求实数的取值范围。 分析：本题第（1）问是一个恒成立问题，由于，恒成立，则此问题等价于恒成立，又等价于时的最小值恒成立. 由于在 时为增函数，所以，于是. 第（2）问是一个恰成立问题，即当时，的值域恰为,与（1）不同的是，（1）是时，恒成立，因此允许在时，的取值为，，------等等.而的值域为，则当时， 只能取，而不能是其他. ，当时，由于，与其值域为矛盾，所以有. 注意到当时，函数都是上的增函数，因而也是上的增函数.于是在时的最小值为，令，即，得. 小结：1、解恒成立题的基本思路是：若在D上恒成立，等价于在D上的最小值成立，若在D上恒成立，则等价于在D上的最大值成立. 2、解决恰成立问题的的基本思路是：若在D上恰成立，等价于在D上的最小值，若在D上恰成立，则等价于在D上的最大值. 例2：若不等式的解集为非空数集，求实数的取值范围. 分析：本题相当于存在，使成立，因此是一个不等式能成立的问题，这类问题的通常思路是：设.为使有解，只要即可，由绝对值的几何意义的最小值为：2，. 小结：解决能成立问题的的基本思路是：若在D上能成立，即存在成立，等价于在D上的最大值，若存在成立，则等价于在D上的最小值成立. 例3：函数 （1）定义域为区间，求实数的取值范围. （2）在区间上有意义，求实数的取值范围； 分析：（1）由题意知不等式的解集为[-1,2]， 即的解集为[-1,2]，则的两根为-1，2则或 （2）由题意知，不等式在[-1,2]上恒成立 即: 恒成立 或时， 或 例4：（05年北京春招8）若不等式对于任意正整数恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 分析：对于任意正整数恒成立 恒成立且恒成立 且 （为减函数） ，故选 可见解决这类问题一方面要读懂题意，搞清是恒成立问题、能成立问题还是恰成立问题，另外注意函数思想的运用. 巩固练习： 1、已知关于的不等式，求实数的取值范围. 2、已知关于x的不等式求实数的取值范围. 3、是否存在实数使得在时，不等式成立，若存在，求的取值范围，若不存在，说明理由。 4、已知函数，若不等式在上恒成立，求a的取值范围. 5、已知函数 若的定义域为R，求实数的范围 （2）若的值域为R，求实数的范围 参考答案: 1、 关于的不等式，即关于的不等式恒成立， 2、关于的不等式， 即当时，关于的不等式 成立，是 方程的根，. 3、法一：结合二次函数的图像，分类讨论（过程较繁，略） 法二：转化为恒成立，，恒成立 令 令 4、根据题意，有不等式在上恒成立. 设则，这时不等式可化为在上恒成立. 由于.设，则.为此，在上恒成立，等价于 由于令. 于是 时，， 下面对 当 此时无解. （2）当，由于，此时， 解得 当. 解得 （3）当 于是 1