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专题八 竞赛中的杂题选讲 选择题（每小题6分） （05全国）记集合将M中的元素按从大到小的顺序排列，则第2005个数是 （　　） A．　 B． C．　 D． 解：用表示k位p进制数，将集合M中的每个数乘以，得 中的最大数为。 在十进制数中，从2400起从大到小顺序排列的第2005个数是2400-2004=396。而 将此数除以，便得M中的数故选C。 （04天津）如图，以、为顶点作正，再以和的中点为顶点作正，再以和的中点为顶点作正，…，如此继续下去．有如下结论： ①所作的正三角形的边长构成公比为的等比数列； ②每一个正三角形都有一个顶点在直线（）上； ③第六个正三角形的不在第五个正三角形边上的顶点的坐标是； ④第个正三角形的不在第个正三角形边上的顶点的横坐标是． 其中正确结论的序号是 ①②③④ （把你认为正确结论的序号都填上）． （05天津）设由正整数有序数对(x，y)组成如下数列：(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，…，按x＋y的值由小到大的顺序排列，当x＋y的值相等时，按x的值由小到大的顺序排列．则有序数对(m，n)(m，n均为正整数)在该数列中的位置是( ) (A)第2m+n－1位 (B)第2m+n－2位 (C)第位 (D)第位 解：D． 按x＋y的值分组，x＋y＝m＋n时为第m＋n－1组，故该数列的前m＋n－2组共有有序数对(个)，而对于有序数对(m，n)，当x＝m时，为第m＋n－1组中的第m位，故有序数对(m，n)在该数列的第位． （05天津）设集合M＝{a|a＝，2x＋2y＝2t，其中x、y、t、a均为整数}．则集合M中的所有元素的和等于 ( ) (A)1 (B)4 (C)7 (D)8 解：D．不妨设x≤y，有2t＝2x＋2y≤2y＋2y=2y+1．则t≤y＋1．由2x＞0，得2t＝2x＋2y＞2y，则t＞y，∴y＜t≤y＋1．又知x，y，t均为整数，则t＝y＋1，有2y+1＝2x＋2y，故x＝y＝t－1． 于是a＝＝2－，这里a、t∈Z，可得t＝±1，±2，则a＝0，1，3，4．故集合M中所有元素的和为8． 填空题（本题满分54分，每小题9分） （04全国）设p是给定的奇质数，正整数k使得也是一个正整数，则k=____________。 解：设，从而是平方数，设为. 。（负值舍去） （04天津）若正奇数不能表示为三个不相等的合数之和，则满足条件的的最大值为 17 ． （04天津）设、、是直角三角形的三条边长，且，其中，，则的值等于 4 ． （05天津）如图3(a)，已知正方体八个顶点分别赋值为a，b，c，d，e，f，g，h，然后，将与每个顶点相邻的正方体的三个顶点所赋值的算术平均值，，，，，，，放在另一个正方体的相应顶点处，如图3(b)．若＝9，＝8，＝11，＝10，＝13，＝12，＝15，＝14，则a＋g的值为_________________． 解：20． ＝，…，＝，则 a＝(＋＋)－2，g＝(＋＋)－2，∴a＋g＝20． 三、解答题(每小题20分) （04天津）已知是等差数列，为公差且不等于，和均为实数，它的前项和记作，设集合，，试问下列结论是否正确，如果正确，请给予证明；如果不正确，请举例说明． （Ⅰ）若以集合中的元素作为点的坐标，则这些点都在一条直线上； （Ⅱ）至多有一个元素； （III）当时，一定有． 【解】（Ⅰ）正确．因为，在等差数列中，，所以，．这表明点的坐标适合方程．所以，点均在直线上．…………5分 （Ⅱ）正确．设，则坐标中的、应是方程组的解．解这个方程组，消去，得．（﹡）当时，方程（﹡）无解，此时，.…10分 当时，方程（﹡）只有一个解，此时方程组也只有一个解，即 故上述方程组至多有一解，所以至多有一个元素．　…………………………15分 （Ⅲ）不正确．取，，对一切，有，．这时集合中的元素的点的横、纵坐标均为正．另外，由于，如果，那么根据（Ⅱ）的结论，至多有一个元素（），而，．这样的，产生矛盾．所以，，时，，故时，一定有是不正确的．……………………20分 （04天津）设边长为的正的边上有等分点，沿点到点的方向，依次为，，…，，若 ，求证：． 【证明】如图，设，，，令，则（，，，…，）.其中，，． ∴ （，，，…，） ……………5分 又∵， ∴ 　　　　　……………………………………………10分 ．