中南大学数学建模讲义.ppt

数 学 建 模 讲 座 2010年8月 中南大学 提 纲 数学模型简介 数学建模过程介绍 数学模型求解的基本方法 数学建模与数学软件系统的使用 数学建模论文或报告的写法简介 数学建模参赛队的组队方法 差分方法建模实例 五、人口按年龄结构的总体增长问题 二 极限状态 三 一个实例 六、动物群的收获问题 一 收获模型 二 均匀收获 很多的动物群很难区分或者捕捉到特定年龄的动物。当动物是随机捕捉时，可假定每一年龄组的收获百分数是相等的，这就是均匀收获，令 则（6.2）式就化成 三 只收获最小年龄组 某些动物，只有最年轻的雌性才具有经济价值，因袭力求收回最轻年龄组的雌性。例如要制作烤乳猪这道菜，则需要刚出生不久的乳猪。 四 一个实例 1、均匀收获 考虑一个没有多少移民迁入与外界隔绝的部落。假设该部落中没有年龄大于60的女性，将该部落中的女性分分成期限为20年的3个年龄组，并知其赖斯利矩阵是 如果开始时在这3个年龄组中每组有1000名女性，于是由（5.3）式，得到 因此60年后，年龄从0到20岁的女性有14375名；20到40岁的女性有1375名；40到60岁之间的女性有875名。 由于L的特征多项式是严格主特征值是，故由（5.8）式，相应的特征向量是 对于足够大的k值（即多年后），由（5.14）式得 因而每隔20年，3个年龄组中的女性和女性总数都将增长50％。 由（5.12）式得 这说明到最后，女性将按1：1／3：1／18的比例分配在3个年龄组中，这相当于72％的女性分布在第一年龄组，24％的女性分布阿第二年龄组，4％的女性分布在第三年龄组中。 这里仅分析了一个“特殊”的例子。事实上，要预测某地区未来人口的数量及人口年龄分布规律，同行需要考虑男性的情况，则需要对莱斯利模型做一些必要的修改还需要从人口普查资料中得到人口参数。分组的年限往往是一年，这样莱斯利矩阵L的阶就相当高，且假定出生率与死亡率是固定的，对于人口的长期预测来说，其合理性是有争议的。 当L的阶数较高时，可使用第四章I 介绍的数学软件来进行上述计算，并进一步思考下列问题： １）评价并讨论上述推倒模型的假设。什么因素对出生率和死亡率有影响。 　２）推倒某地区男性和女性的年龄结构模型。方法之一是假设有关女性人口的模型成立，对于一个出生的女婴对应地有一个出生的男婴，男性人口的存活率为常熟。对于有移民的情况模型应该怎样建立？ 本节讨论动物群的收获效果，作为上一节莱斯利模型的应用，了解持续收获模型、只收获特定年龄组问题。 初步掌握是数学技术的综合应用。 在上一节的中，讨论了女性总体按年龄分组的莱斯例矩阵模型。这一节将利用这个模型来讨论动物群的收获效果，可以认为这一节是莱斯利模型的应用。 我们仅讨论持续收获。 所谓持续收获是指： 如果一个周期性收获的 动物总体，每次的收获量相同，并且在每次收获后，遗留的总体的年龄分布任旧不变，就称为持续收获。 采用这种持续收获方案，可以使动物群不致耗竭，而只是开发利用增长的过剩部分。 收获”并不一定是指屠宰率亦可指由于别的目的而将动物从整体中移走。与上一节一样，我们只讨论动物群中的雌雄。 先用图5-3说明动物群收获模型的基本概念： 从一个特定的年龄分布的动物开始，经历一个用莱斯利矩阵描述的生长周期后，在生长周期末，收获每个年龄组的某些部分。 由于收获期与生长周期相比是很短的，因而在收获期间总体的增长或变化都可以忽略不计。 结果遗留下来未收获的总体年龄分布就和原来的总体相同。每次收获后重复这种循环 ，所以收获是持续的。 设 是在i组中剩下未收获的雌性动物的个数，则向量 是在生长周期开始时动物总体的年龄分布向量 同样假设每一年龄组的期限和生长的周期相同的 长短相同，例如动物群一年收获一次，那么动物群就分成期限为一年的年龄组。 设L是描述总体增长的莱斯利矩阵，那么向量LX是紧靠着收获之前，生长周期末的总体的年龄分布向量。 设是从第i年龄组中收获的雌性动物的百分数，由此得到I 个n阶对角阵 称为收获矩阵。 显然， 即对于这n组中的每一组。可以不收获 ，全部收获 或当收获到一部分 。 因为紧靠着收获之前的 第i年龄组中的雌性动物数是向量LX的第i个元素，记为，则向量 中的地i个元素就是第i个年龄组中收获的雌性动物数，根据持续收获的定义：在生长周期末的年龄分布－收获＝在生长