中学数学习题理论和教学.ppt

一、关于数学习题理论的概念 1、什么是数学习题 1、什么是数学习题 2、什么是数学习题理论 二、研究数学习题理论的意义 1、学:数学作为一门科学，其最核心的问题是解题，对解题规律的研究与学习是提高学生的数学解题能力和数学素养的重要手段。 三、数学习题理论的研究情况 1、早期研究基本上是围绕解题进行的，而解题之外的其它方面如习题本身，习题的结构，性质，分类，编制，功能，学生解题过程中的心理分析等，专门的研究不多。 一、数学习题的分类 1）常见分法：算术题、代数题、平面几何题、立体几何题、解析几何题、三角题，等等。 2）按知识内容分类可在不同的层次上进行。 3）综合题：体现了知识的内在联系。在复习和能力考查中离不开综合题。综合题不同于堆砌题。 按奥加涅相的数学习题的R=｛Y,O,P,Z｝系统理论，数学习题分为：标准性题(四个要素都已知)，训练性题(四个要素中有一个未知)，探索性题(四个要素中有两个未知)，问题性题(四个要素中有三个未知)。 (1)数学习题一般由条件和结论组成，而条件和结论又由更基本的要素表述：表示概念的词汇、关联词，数学符号，图形和算式，表述的方式，前后顺序等。 (2)在表述中，概念的明晰性，符号的确定性，图形的规范性，词语的标准性，形式的和谐性等对解题者理解题意、解题方法的探求必定产生一定程度的影响。 一、编制数学习题要遵循的原则 为了即时巩固知识和技能： ——应编制收敛性题 为了深化对知识的理解，培养学生的创造能力： ——应编制发散性题和开放题 例1：长方形对角线长为5，长与宽之和为8，求长方形面积。 错解： x+y=8　 (1) x2+y2=25 (2) (1)2－(2)，得2xy=39，故xy=19.5。 ?(题中的要求是否可行？) 例3： ΔABC所在平面外一点P到ΔABC三边的距离相等，I是ΔABC的内心，求证：PI⊥平面ABC。 (点到线段的距离怎么定义？) 例： 设x1，x2，x3是3个自然数，求证： x12+x22+x32 x1+x2+x3 ≥x1x1x2x2x3x3 x1+x2+x3 如： 三角形中有许多量：３条边，３个内角，３条高，内切圆半径，外接圆半径，等等。给出３条边，或者给出两个内角和外接圆半径就可以将其他所有的量都表示出来，所以说三角形的基本量个数是３。 等差(比)数列的基本量个数是3。 如： 基本题：在一次讲演中，听众的５位数学家每人均打两次瞌睡，且每两人均有同时打瞌睡的时刻，求证一定有３人同时打瞌睡的时刻。(美国数学奥林匹克题，1986) 例：排序打水 10个人各拿一只水桶去打水，设水龙头注满第i个人的水桶需要ti分钟，且各ti各不相同，问只有一个水龙头时，应如何安排这10个人的次序，才能使他们等待的总时间最少？这个最少的总时间是多少？ 一、解题策略的概念和发现过程 波利亚：怎样解题 (1)弄清问题 (2)拟定计划 (3)实现计划 (4)回顾 　　 例2：（几何问题代数化） 求证：正n边形所有边与所有对角线的平方和，等于外接圆半径平方的n2倍。 例３：设x，y为实数，满足 例1： a,b,c,d,e∈(0,1)，求证(1-a)(1-b)(1-c)(1-d)(1-e)1-(a+b+c+d+e)。 “以退求进策略”的一种特殊用法——极端原理 例2： 在一次乒乓球循环赛中，所有n名选手中(n≥3)没有全胜的，求证：一定存在三名选手A，B，C，使得A战胜B，B战胜C，而C战胜A。 例 (常量与变量换位) 3、实际教学中对解题训练的步骤 简单模仿 变式练习 自发领悟 自觉分析 例1(模仿) 方程ax2+bx+c=0有实数根, a3x2+b3x+c3=0有实数根吗? 例2：（变式） 解：取直角坐标系内四点A(a,b),B(a+b,b+c),C(a+b+c,b+c+d),D(a+b+c+d,b+c+d+a),则原题转化为证明|OA|+|AB|+|BC|+|CD|≥|OD| 数学解题错误主要有 知识性错误 逻辑性