大学文科数学张国楚集合、实数、极限PPT.ppt

定理2(复合函数的极限运算法则) 设函数 是由函数 与函数 复合而成, 若 则 且在 的某去心邻域内有 注: 若函数 和 满足该定理的条件, 则作代换 可把求 化为求 其中 定理2表明: 完 例7 计算 解 令 则函数 构成的复合函数. 因为 且 时 所以 完 可视为由 第一章 微积分的基础问题 ——集合、实数、极限 教学目标：本章的目标是介绍集合、实数和极限。要求了解集合、实数与极限在微积分中的作用。了解我国数学家祖冲之在我国古代数学中所作出的杰出贡献。 教学重点：集合、实数与极限在微积分中的作用、邻域的概念。 教学难点：极限概念及其在微积分中的作用、邻域的概念。 教学时数：6学时。 教学内容： §1 极限、实数与集合在微积分中的作用 §2 实数系的建立及邻域的概念 §3 变量无限变化的数学模型——极限 数学家启示录 （一）数学之神——阿基米德 （二）我国古代伟大数学家——祖冲之 §1 极限、实数与集合在微积分中的作用 微积分 极限理论 实数理论 自然数 集合论 从左到右，左边的理论为右边理论的基础。 布置作业 必作题：无 选作题：无 思考题：推动微积分不断向前发展的因素有哪些？哪些数学家对微积分的完善与发展做出了重大贡献，各自的成就有哪些？ §2.2刻画极限的邻域概念 与点 的距离小于 的全体实数的集合称为点 的邻域。记作： ，称为邻域的中心， 称为邻域的半径。这一邻域可用集合符号表示为 。 如果点 的 邻域 不包括点 ，则称为点 的去心邻域。 例题：用邻域符号和区间符号分别表示不等式 所确定的 的范围。 解： 布置作业 必作题：无 选作题：无 思考题：实数系的演变过程是怎样的？ §3 变量无限变化的数学模型——极限 3.1数列极限（概念） 以正整数为自变量的函数 ，当n依次取 ， 称为无穷数列 ，简称数列。数列中的各个数称为数列的项， 称为数列的通项。数列常简记为 。 1.数列极限的定性描述 定义1：如果n无限增大时，数列 的同项 无限趋近于常数a，则称该数列以a为极限，记作 其中 表示n无限增大，此时也称为该数列收敛；如果 时，不以任何常数为极限，则称数列 发散。 无穷小量：以零为极限的变量称为无穷小量。 绝对值无限变大的变量称为无穷大量。 常数列的极限仍是该常数。 2.数列极限的定量描述 定义2：如果对于任意正数 （无论它有多小），总存在相应的正整数N，使得满足nN的一切n，能使不等式 恒成立，则称数列 以a为极限，记作： 例 证明： 证明：设为任意小的正数 ，由 （不妨设 ）求N： 取 由前面的推导过程可知，则当nN 时，就有 3.数列极限中蕴含的辨证思想 极限的取得是变化过程与变化结果的对立统一。 极限是有限与无限的对立统一。 极限的取得体现了近似与精确的对立统一。 3.2函数极限 1.自变量 无限趋进于有限数 的情形 定义1：设函数 在点 的近旁有定义（在点 处可以无定义）。如果对于任意正数 （不管它有多小），总存在相应的正数 ，使得满足 的一切 能使 恒成立，则称函数 当 时以A极限，记作： ，该定义又称为“ ” 定义。 例：证明： 。 证明：对任意给定的 ，要使 成立，只需取 ，显然当