大学文科数学第二章第一节微积分的直接基础——极限PPT.ppt

第二章 微积分的直接基础——极限 第一节 数列极限 主要内容： 数列及数列极限的概念 早在两千多年前，人们从生活、生产实际中产生了朴素的极限思想，公元前3世纪，我国的庄子就有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的名言.17世纪上半叶法国数学家笛卡儿（Descartes）创建解析几何之后，变量就进入了数学.随之牛顿（Newton、英国）和莱布尼茨（Leibniz、德国）集众多数学家之大成，各自独立地发明了微积分，被誉为数学史上划时代的里程碑.微积分诞生不久，便在许多学科中得到广泛应用，大大推动那个时代科学技术的发展和社会进步. 经过长达两个世纪的自身理论不断完善的过程，才建立了极限理论.可见“极限”是微积分的基础. 阿基里斯追龟 一位古希腊学者芝诺（Zenon，约公元前496 — 约前429）曾提出一个著名的“追龟”诡辩题。大家知道，乌龟素以动作迟缓著称，阿基里斯则是古希腊传说中的英雄和擅长跑步的神仙.芝诺断言：阿基里斯与龟赛跑，将永远追不上乌龟！ A B B B1 假定阿基里斯现在A处，乌龟现在B处.为了赶上乌龟，阿基里斯先跑到乌龟的出发点B，当他到达B点时，乌龟已前进到B1点；当他到达B1点时，乌龟又已前进到B2点，如此等等。当阿基里斯到达乌龟前次到达过的地方，乌龟已又向前爬动了一段距离.因此，阿基里斯是永远追不上乌龟的！ B1 B2 　然而芝诺将这样一个直观上都不会产生怀疑的问题与无限纠缠在一起，以至于在相当长时间内不得不把“无限”排除在数学之外.直到19世纪，当反应变量无限变化极限理论建立之后，才可用极限理论回答芝诺的挑战. 一列数： 10，1，0.1，0.01，…，102－n，…称为数列. 102－n为通项. 一尺之棰，日取 其半，万世不竭. 初始长度为：1 一、数列的极限（问题的引入）： 在《庄子·天下篇》中有“截丈问题”的精彩论述： 第一天剩的长度为： 截丈问题： 一尺之棰，日取 其半，万世不竭. 第二天剩的长度为： 截丈问题： 一尺之棰，日取 其半，万世不竭. 第三天剩的长度为： 截丈问题： 一尺之棰，日取 其半，万世不竭. 第四天剩的长度为： 截丈问题： 一尺之棰，日取 其半，万世不竭. 这样可以看出第n 天剩的长度为： 一尺之棰，日取 其半，万世不竭. 于是得到了数列: 当n 越来越大时,棰越来越短,逐渐趋于0. 再看一下整个过程. 举例: ① 这个数列的通项是: 0 1 –1 x … xn x2 x1 x 0 x3 … ????? ????? ② 这个数列的通项是: 数列极限的定义(定性描述): 若该数列不以任何常数为极限，则称这个数列发散. 也称该数列收敛. 这个定义是在运动观点的基础上凭借几 何图像,直觉用自然语言作出的定性描述. 因为当n?∞ 时， 趋近于常数 0 . 因为当n?∞ 时， 反复地取 1和－1， 没有明显 的变化趋势,是发散的. 0 1 –1 x … an a2 a1 x 0 a3 … ????? ????? 注： ④中各项均为相同的数（常数) 1,我们 把这样的数列称作常数列.因为不论 n 取 何值，每项都是1，因此该数列的极限是 1. ③ 2, 4, 6, …, 2n, … ④ 1, 1, …,1,…, 1,… 这个数列的通项是: 这个数列的通项是: 数列有以下几种变化趋势: 数列的变化 趋势 下面我们直观地看一下极限的定义 * *