二次曲线的仿射性质和度量性质.doc

PAGE PAGE 35 二次曲线的仿射性质和度量性质 如果将仿射变换 △= ≠0 用点的齐次坐标表示，则 显然，仿射变换是使无穷远直线仍变成无穷远直线的射影变换。正交变换是仿射变换的特例，所以正交变换也使无穷远直线保持不变。 §1 二次曲线与无穷远直线的相关位置 设二次曲线的方程为 （1.1） 现在求无穷远直线与二次曲线的交点，把代入（1.1）式，得 从而解得 （1.2） 当A33=0时，（1.2）有两个不等的虚根； 当A33==0时，（1.2）有两个相等的实根； 当A33=0时，（1.2）有两个不等的实根。 根据二阶曲线与无穷远直线相交的情况，我们把二阶曲线进行分类： 定义 1.1 当A330 时，二阶曲线称为椭圆型曲线；当A33=0时，二阶曲线称为抛物型曲线；当 A330时，二阶曲线称为双曲型曲线。而且，当|A|≠0时，上述三种类型曲线分别称为椭圆、抛物线、双曲线。 注意：常态二阶曲线是抛物线的充要条件为无穷远直线是它的切线。 §2. 二次曲线的仿射性质 1 二阶曲线的中心 定义2.1 无穷远直线关于二阶曲线的极点，称为此二阶曲线的中心。 定理2.1 双曲线、椭圆各有唯一中心且为有穷远点，而抛物线的中心为无穷远点。 证明 设无穷远直线x3=0关于二阶曲线的极点为C(c1，c2，c3)，则由极点公式有 从而解得 c1：c2：c3= =A31：A32：A33 因此，当二次曲线为椭圆或双曲线时，中心C为有穷远点，此时，A33≠0；当二次曲线为抛物线时，A33=0，此时中心C为无穷远点，该中心是曲线与无穷远直线的交点（切点）。在欧氏平面上，抛物线的中心不存在。 . 椭圆、双曲线称为有心二次曲线，抛物线称为无心二次曲线。 注意： （1）因为无穷远直线是仿射不变图形，所以二次曲线的中心具有仿射性质。 （2）这里对二次曲线中心的定义与解析几何中的定义是一致的。 解析几何中二次曲线中心的定义为：平面上一点，如果这个点平分经过它的二次曲线的任意的弦，则这点称为二次曲线的中心。 新的定义同样满足有心二阶曲线的中心平分过中心的每一条弦。 证明：设无穷远直线的极点为C，过C任作直线交二次曲线于A，B两点，与无穷远直线交于P∞，则 （AB，C P∞）=－1， 即（ABC）=－1，所以C是弦AB的中点。 反过来，如果C平分过它的任意弦AB，则（ABC）=－1，这时C点关于二次曲线的共轭点均为无穷远点，即C 的极线是无穷远直线。 如此看来，关于二阶曲线中心的定义同欧氏几何里的定义是一致的。 （3）当二次曲线表示抛物线时，它与无穷远直线相切，这时无穷远直线的极点即是它与二次曲线的切点，所以抛物线的中心是无穷远点，为（a12 , －a11 , 0）或（a22，－a12，0）。因此抛物线的中心不存在。 2.2 直径与共轭直径 定义2.2 无穷远点关于二阶曲线的有穷极线称为二阶曲线的直径。 注意： （1）由于中心是无穷远直线的极点，根据配极原则，无穷远点的极线必通过中心。因此，直径又可定义为：通过二阶曲线中心的有穷远直线 （2）解析几何中，直径定义为：二次曲线的一组平行弦中点的轨迹。这个定义与上面的定义也是一致的。 设无穷远点L∞的极线为p，过L∞任作二次曲线的割线AB，设与p交于点C，则 （AB，C L∞）=－1 所以C为弦AB的中点，由于AB的任意性可知，p为一组平行弦中点的轨迹。 反之，可以证明：若有一组相交于无穷远点的平行弦，则这组平行弦的中点C均在L∞的极线p上。 （3）由于抛物线与无穷远直线相切，所以无穷远点关于抛物线的极线均过这个切点，即抛物线的直径有公共的无穷远点，亦即，抛物线的直径是互相平行的。 下面我们讨论直径的方程。 设二次曲线的方程为 ， 设无穷远点为P（μ，λ， 0），则它的极线为Sp=0,从而直径的方程为 当μ≠0时，直径的方程为 当二次曲线表示抛物线时，它与无穷远直线的切点为无穷远点，此时的直径都经过该点，所以直径是一组平行直线，其方程为 其中b为参数。 定义2.3 二次曲线的一直径与无穷远直线交点的极线称为此直径的共轭直径。 注意： （1）根据配极原则和定义可得：两条直径的共轭关系是相互的； （2）两互相共轭的直径彼此通过对方的极点。于是另有共轭直径的定义：通过中心的两条共轭直线称为共轭直径。与一对共轭直径平行的方向称为共轭方向。 （3）因为抛物线的直径都通过抛物线与无穷远直线的切点，所以，抛物线无共轭直径。抛物线直径的方向与其所平分的弦的方向称为共轭方向，但不是共轭直径。 上述定义与解析