导数与极限PPT.pptx

;面积问题;;数列：;数列的几何意义：;;问题:;极限的精确定义：;例如,;数列极限的几何意义：;对于任意给定的正数e0，;用定义证明极限举例;故;因为;例3:;例 4 设|q |1，证明等比数列 1，q ，q2，… ，qn-1，… 的极限是0．; 例如，数列 {an} ： 1，-1，1，-1，…， (-1)n+1，… 的一子数列为{a2n}：-1，-1，-1，…，(-1)2n+1， …．;*********************;常用逆反命题:;定理 ; 证明：设数列{an}收敛，且收敛于L．根据数列极限的定 义，对于ε =1 ，存在正整数N，使对于nN时的一切 an， 不等式 | an- L |e =1 都成立．于是，当nN时， | an |=| ( an- L ) + L| ? | an- L |+| L|1+| L|． 取M=max{| a1 |， | a2 |， …, | aN |， 1+| L |}， 那么数列{an}中的 一切 an都满足不等式 | an | ? M． 这就证明了数列{an}是有界的．;f (x)=A或f (x) ?A(当x ?x0)．;;f (x)=A 或 f (x) ?A(当x ?x0)．; 说明;;A;A;A;A;A;A;A;A;因此对于任意给定的正数e ，;只要2|x-1|e ，; 注意: 函数在x=3/2是没有定义的． 但这与函数在该点是否有极限并无关系．x→3/2, 但是x≠3/2;注: 对变量x 的限定.;例5;单侧极限：;讨论：;左、右极限与极限的关系;左右极限存在但不相等,;;;;定理 4;所以 ．;水平渐近线：;如果 ，;放大不等式,扔掉分母常数;2.2.2 函数极限的性质;定理6;A; 证明：设A0， 取正数e ?A，根据极限的定义， 对于这个 取定的正数e ，必存在着一个正数d ，当0|x- x0|d 时，不等式 |f(x)-A|e , 或A-e f (x)A+e 成立．因A-e ?0， 故f (x)0．;;推论;定义;无穷小与极限的关系定理，极限基本定理;证:;B 无穷大;;（3）无穷大是变量,不能与很大的数混淆;;关于无穷的运算中，以下几条法则成立：;;定理10 有限个无穷小的和是无穷小。;定理 11 有界函数与无穷小的积是无穷小。;解;;;;;注意应用条件：x→∞。;例;拆项相消;;对上述;;;准则II ( 单调数列收敛准则 );例;解;例 设;注 要先证明极限存在才能求极限.;例;例;因为奇数项偶数项, 所以奇数项有上界a2, 偶数项有下界a1.;先考虑有理化;;第一个重要极限;例16;解 设;第二个重要极限;类似地,;;例;例. 求;例 求;2.2.5 无穷小的比较;定义;;例;例;例;(5);证明:;例.;不能滥用等价无穷小代换.;定理 15;根据以上定理和定义可得以下常用的近似(计算)公式：;解:;例