微积分01-第一章02-数列的极限PPT.ppt

微积分 第一章 函数与极限 制作： 山东经济学院统计与数学学院 x4 x2 x1 x3 x5 xn 1、数列 如果按照某一法则，对每个正整数 n，对应着 一个确定的实数 xn ，这些实数 xn 按照下标 n 从小 到大的顺序依次排列得到的一个序列 x1, x2, …, xn, … 称为一个无穷数列，简称为数列。记为 {xn}。 其中 每一个实数称为数列的项，第 n 项 xn 称为该数列的 一般项或通项。 几何意义： x 分 类 单调增加数列： x1 ? x2 ? … ? xn ? … {2n-1} 单调减少数列： x1 ? x2 ? … ? xn ? … {1/n} 单调 数列 有界数列：存在正数M，使对一切 n 均有 xn ? M 成立。 {1/n} 无界数列： {2n-1} 例： 1+1/2 0 1 1-1/3 问题： 3、数列的极限 从极限的数学以及物理背景可知，为了求得实际 问题的精确值，需要研究当 n 无限增大 (即 n ??) 时， 对应的 xn 是否能无限接近于某个确定的数值？若能，此 数值是多少？即要研究数列的发展趋势（运动规律）。 1/4 0 1/2 1 1/3 x 实例 状态 运动目标（n??） 稳定 -1 0 -1, 1, -1, …, (-1)n, … 1 x 不稳定 稳定 x 1, 2, 3, …, n, … 稳定 ? 以 为例，当 n 无限增大时， 无限趋近于 0。 问题是：1、无限趋近应如何体现？2、n 的无限增 大与 无限趋近于 0 的关系又应如何体现？ 我们知道，两个数 a 与 b 之间的接近程度可以用它 们的差的绝对值 |b - a| (即：数轴上点 a 与点 b 之间的距 离) 来度量。|b - a| 越小，a 与 b 就越接近。 由此可知，上例中 无限趋近于 0 可用 来衡 量。因为当 n 足够大时， 可以小于任意给定的 正数，无限趋近于 0。 1/4 0 1/2 1 1/3 x 例如，给定 ，欲使 ，只要 n 100，即 从第 101 项起，都能使不等式 成立。 同样地，若给定 ，欲使 ，只要 n 100，即从第 1001 项起，都能使不等式 成立。 设有数列 {xn}， 若存在常数 A， 使对于任意给定的 ? 0， 总存在正整数 N， 当 n N 时，恒有 | xn- A| ? 成立， 则称当 n ? ? 时，数列 {xn} 以 A 为极限。 记作 几何意义： x1 A x2 x3 xN+2 xN+1 xN+3 ( ) xn ?A ? ?? 0，某项之后，xn 全落入开区间 (A-?, A+?) 之中。 若数列 {xn} 有极限，则称数列 {xn} 收敛。 若数列 {xn} 无极限，则称数列 {xn} 发散。 (1)、? 是一个距离指标，用来刻画 xn 与 A 的接近程度。 它具有两重性：一是任意性，即 ? 可任意取，只有 这样，| xn-A|? 才能刻画“ xn 无限接近于 A”。二是 相对固定性，一经取定就相对固定下来，依此找 N。 (2)、正整数 N 与 ? 有关，它是随 ? 的给定而确定的，且 不唯一。 注 数列极限的定义有三个要素：正数? ，正整数N， 不等式 | xn-A|? 。 (3)、不等式 | xn-A|? 指的是下面的一串不等式： | xN+1-A|?，| xN+2-A|?，| xN+3-A|?，…