微积分(上)第2章极限与连续PPT.ppt

根据准则 2 可知数列 记此极限为 e , e 为无理数 , 其值为 即 有极限 . 原题 目录 上页 下页 返回 结束 又 定理 2 . 若在 的某去心邻域内 , 且 则 证: 用反证法. 则由定理 1, 的某去心邻域 , 使在该邻域内 与已知 所以假设不真, (同样可证 的情形) 思考: 若定理 2 中的条件改为 是否必有 不能! 存在 如 假设 A 0 , 条件矛盾, 故 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.3.2极限的运算法则 刘徽 目录 上页 下页 返回 结束 定理2.3.1 极限的四则运算法则 若取 则在对应的邻域 上 若 则存在 使当 时, 有 推论: (P37 推论) 分析: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 直线 y = A 仍是曲线 y = f (x) 的渐近线 . 两种特殊情况 : 当 时, 有 当 时, 有 几何意义 : 例如， 都有水平渐近线 都有水平渐近线 又如， 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例4. 证明: 当 证: 欲使 且 而 可用 因此 只要 时 故取 则当 时, 保证 . 必有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2章 二 、收敛数列的性质 三 、极限存在准则 一、数列极限的定义 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2章数列与极限 2.1数列的极限 定义2.1.1 按着正整数的顺序排列起来的无穷多个数 叫做数列. 刘徽 目录 上页 下页 返回 结束 记作 或 叫做数列的项，第n个数叫数列的第n项或通项 并把每个数 若令 则可以看出，数列实际上是自变量取正整数的函数. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2.1.1 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一般地,如果存在正数Ｍ，使得对一切正整数n,都有 则称 为数列 下界；（b为数列 上 界）. 单调数列： 单调增加数列： 单调减少数列： 有界数列：一个数列,如果存在正数Ｍ，使得对一切 正整数n都有 则称数列 有界；否则称之无界. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.1.1 数列极限的概念 对于数列我们研究的主要问题是观察一般项随着n 的增大的变化趋势 一般项随着n的增大趋于0. 一般项随着n的增大趋于0. 一般项随着n的增大趋于2. 一般项随着n的增大不趋于某一数. 一般项随着n的增大无限增大. 例2.1.2 已知 证明数列 的极限为2. 证: 欲使 即 只要 因此 , 取 则当 时, 就有 故 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2.1.3. 设 证明等比数列 证: 欲使 只要 即 亦即 因此 , 取 , 则当 n N 时, 就有 故 的极限为 0 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.1.2 数列极限的性质 证: 用反证法. 及 且 取 因 故存在 N1 , 从而 同理, 因 故存在 N2 , 使当 n N2 时, 有 定理2.1.1. 收敛数列的极限唯一. 使当 n N1 时, 假设 从而 矛盾. 因此收敛数列的极限必唯一. 则当 n N 时, 故假设不真 ! 满足的不等式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理2.1.2. 收敛数列一定有界. 证: 设 取 则 当 时, 从而有 取 则有 由此证明收敛数列必有界. 说明: 此性质反过来不一定成立 . 例如, 虽有界但不收敛 . 有 数列 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理2.1.3. 收敛数列的保号性. 若 且 时, 有 证: 对 a 0 , 取 推论: 若数列从某项起 (用反证法证明) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、自变量趋于有限值时函数的极限 自变量变化过程的六种形式: 二、自变量趋于无穷大时函数的极限 本节内容 : 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.2 函数的极限 1. 时函数的极限 引例. 测量正方形面积. 面积为A ) 边长为 (真值: 边长 面积 直接观测值 间接观测值 任给精度 ? , 要求 确定直接观测值精度 ? : 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义2.2.1 . 设函数 在点 的某去心邻域内有定义 , 当 时, 有 则称