微积分第二章 极限与连续PPT.ppt

只须 由于当 x=1 时, 无定义, 则当 x≠1 时, 恒有 成立. 即 要使 , 即 故可取 证明 例3 在定义2.2.2中, 极限过程 x →x0包括了x 同时从 x0的左、右 两侧无限的趋于x0 . 但是, 有时我们只能或只需考虑 x 仅从 x0 的左侧或右侧趋于 x0 （记为 x →x0- 或 x →x0 +）时, f(x)的变 化趋势. 例如函数 只能从2的右侧趋于2, 从而就必须引进函数左、右极限的概念. 定义2.5 设函数?(x)在点x0右侧某个去心邻域内有定义, 如果存在常数A, 对于任意给定的ε 0, 总存在δ 0, 使得 当x 满足不等式 恒成立, 那么常数A就叫做函数?(x)当 时的右极限, 记做 就可以得到在 x0处的左极限. 记为 类似地, 在 的定义中, 把 改为 左极限和右极限统称为单侧极限. 由极限定义易知以下的 充要条件成立. 定理2.1 函数 y = ?(x) 当 x→ x0 时极限存在且为 A 的充 要条件是函数y = ?(x) 的左极限和右极限都存在且等于A. 即 例 4 解 讨论当 时, 函数 的极限. 当 x 0 时, 有 当 x 0 时, 有 由于 ，所以 不存在. 例5 设函数 , 讨论 是否存在? 解 因此 不存在. 当 x 0 时, 有 当 x 0 时, 有 二. 函数极限的性质 由于函数极限的定义按自变量的变化过程不同有各种不 同的形式，下面仅以 定理2.2.2(唯一性) 若 注 若极限不唯一, 变化趋势不定. 例如 于函数极限性质的一些定理. 至于其他极限形式的性质, 只 要相应地作一些修改便可得出. 这种形式给出关 存在, 则极限值 A 唯一. 定理2.2.3 (局部有界性) 若 证 取ε =1, 因为 则存在 当 时, 于是, 当 时 取 当 有 存在, 那么存在 常数M0和δ0，使得当 时, 必存在那么一个时刻, 在此时刻以后, 就恒有 即 证 设 A 0取正数 由 lim?(x)= A 的定义, 定理2.2.4 (局部保号性) 若 且 A 0 (或 A 0). 则存在 δ0, 使得当 时, ?(x) 0 (或?(x) 0). 微积分I 第二章 极限与连续 微积分I 第二章 极限与连续 微积分I 第二章 极限与连续 微积分I 第二章 极限与连续 微积分I 第二章 极限与连续 微积分I 第二章 极限与连续 微积分I 第二章 极限与连续 微积分I 第二章 极限与连续 微积分I 第二章 极限与连续 微积分I 第二章 极限与连续 微积分I 第二章 极限与连续 极限的产生过程 极限思想的产生和其他科学思想一样，是必须经过历代古人的思考与实践一步一步渐渐积累起来的，它也是社会实践的产物。极限的思想可以追溯到古代，刘徽的割圆术是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用；古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想，但由于希腊人“对无限的恐惧”，他们避免明显的“取极限”，而是借助于间接证法—归谬法来完成有关的证明。 微积分I 第二章 极限与连续 * * 微积分I 第二章 极限与连续 到了16世纪，荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中改进了古希腊人的穷竭法，他借助几何直观，大胆地运用极限思想思考问题，放弃了归缪法的证明。如此，他就在无意中“指出了把极限方法发展成为一个实用概念的方向”。 极限思想的进一步发展是与微积分的建立紧密相联系的。16世纪的欧洲处于资本主义萌芽时期，生产力得到极大的发展，生产和技术中大量的问题，只用初等数学的方法已无法解决，要求数学突破只研究常量的传统范围，而提供能够用以描述和研究运动、变化过程的新工具，这是促进极限发展、建立微积分的社会背景。 * * 微积分I 第二章 极限与连续 起初牛顿和莱布尼茨以无穷小概念为基础建立微积分，后来因遇到了逻辑困难，所以在他们的晚期都不同程度地接受了极限思想。当时缺乏严格的极限定义，微积分理论才受到人们的怀疑与攻击。到了18世纪，罗宾斯、达朗贝尔与罗依里埃等人先后明确