人工智能 课件第十三讲 D-S理论.ppt

证据理论 证据理论是由德普斯特（A.P.Dempster）首先提出，并由沙佛（G．Shafer）进一步发展起来的一种处理不确定性的理论，因此又称为D－S理论。 证据理论用先验概率分派函数去获得后验的证据区间，证据区间量化了命题的可信程度。证据理论不必像Bayes方法那样需要有统一的识别框架、完整的先验概率和条件概率知识。Bayes理论只能将概率分派函数指定给完备的互不包含的假设，而证据理论可将证据分派给假设或命题，也就是说证据理论提供了一定程度的不确定性，即证据既可指定给互不相容的命题，也可指定给相互重叠、非互不相容的命题。证据理论满足比概率论更弱的公理系统，当概率值已知时，证据理论就变成了概率论。 D-S理论 基本理论 一个具体的不确定性推理模型 举例 小结 基本理论 证据理论是用集合表示命题的。设D是变量x所有可能取值的集合，且D中的元素是互斥的，在任一时刻x都取且只能取D中的某一个元素为值，则称D为x的样本空间，也称D为辨别框 。在证据理论中，D的任何一个子集A都对应于一个关于x的命题，称该命题为“x的值在A中”。 证据理论中，为了描述和处理不确定性，引入了概率分配函数，信任函数及似然函数等概念。 概率分配函数 设D为样本空间，领域内的命题都用D的子集表示，则概率分配函数定义如下： 定义1： 设函数M：2D→［0，1］，且满足 M（Φ）＝0 ΣM（A）＝1 A?D 则称M是2D上的概率分配函数，M（A）称为A的基本概率数。 下面对定义的几点说明 ： 设样本空间D中有n个元素，则D中子集的个数为 2n个，定义中的2D就是表示这些子集的。 概率分配函数的作用是把D的任意一个子集A都映射为［0，1］上的一个数M（A）。当A?D时，M（A）表示对相应命题的精确信任度。实际上就是对D的各个子集进行信任分配，M（A）表示分配给A的那一部分。当A由多个元素组成时，M(A)不包括对A的子集的精确信任度，而且也不知道该对它如何进行分配。当A＝D时，M（A）是对D的各子集进行信任分配后剩下的部分，它表示不知道该对这部分如何进行分配。 定义：若A?D则M(A)≠0，称A为M的一个焦元。 概率分配函数不是概率。 信任函数 定义2 :命题的信任函数Bel：2D→［0，1］，且 Bel(A）＝ΣM（B）对所有的A?D B?A 其中2D表示D的所有子集。 Bel函数又称为下限函数，Bel（A）表示对命题A 为真的信任程度。 由信任函数及概率分配函数的定义推出： Bel（Φ）＝M（Φ）＝0 Bel（D）＝ΣM（B）＝1 B?D 似然函数 定义3: 似然函数Pl：2D→［0，1］，且 Pl（A）＝1一Bel（￢A） 其中A?D 似然函数的含义：由于Bel(A)表示对A为真的信任程度，所以Bel(￢A)就表示对非A为真，即A为假的信任程度，由此可推出Pl（A）表示对A为非假的信任程度。 似然函数又称为不可驳斥函数或上限函数。 推广到一般情况可得出： Pl(A)= ∑ M(B) A∩B≠Φ 证明如下： ∴Pl(A) －∑ M(B) ＝1-Bel(￢A)-∑ M(B) A∩B≠Φ A∩B≠Φ ＝1-(Bel(￢A)+∑ M(B)) A∩B≠Φ ＝1-(∑ M(C)+∑ M(B)) C?￢A A∩B≠Φ ＝1-∑ M(E) E?D ＝0 ∴Pl（A）＝ΣM（B） A∩B≠Φ 信任函数与似然函数的关系 Pl（A）≥Bel（A） 证明： ∵ Bel（A）十Bel（￢A）＝ΣM（B）＋ΣM（C） B?A C?￢A ≤ΣM（E）＝1 E?D ∴Pl（A）－Bel（A）＝1－Bel（￢A）一Bel（A） ＝1－（Bel（￢A）＋Bel（A）） ≥0 ∴ Pl（A）≥Bel（A） 概率分配函数的正交和 定义4 :设M1和M2是两个概率分配函数，则其正交 和M= M1 ⊕M2为 M(Φ)=0 M(A)=K－1×∑M1(x)×M2(y) x∩y=A 其中: K=1-∑M1(x)×M2(y)=∑M1(x)×M2(y)