数列极限概念 数学分析PPT.ppt

第二章 数列极限; ;第二章 数列极限;我们已经有了函数的概念，但如果我们只停留在函数概念本身去;数列; 数列{xn}可以看作自变量为正整数n的函数: xn=f(n), n?N? . ;2;截丈问题：;分析：;;;正六边形的面积;那么这一串圆的内接正多边形与该圆有什么关系呢？ 刘徽说:“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆合体而无所失矣.”很明显,当圆的内接正多边形的边数成倍无限增加时,这一串圆的内接正多边形将无限地趋近该圆周.从内接正多边形的面积来说,当边数n无限增大时,这一串圆的内接正多边形的面积数列将渐趋稳定于某个数a.换句话说,“割之弥细”,用圆的内接正多边形的面积近似代替圆的面积,而圆的面积“所失弥少”,当“割之又割,以至于不可割,”这一串圆的内接正多边形的极限位置“则与圆合体”.此时,这一串圆的内接正多边形的面积数列稳定于某个数a,a就应该是该圆的面积.只有在无限的过程中,才能真正做到“无所失矣”. ; 圆是曲边形,它的内接正多边形是直边形,二者有本质的区别.但是这个区别又不是绝对的,在一定条件下,圆的内接正多边形的面积能够转化成该圆面积.这个条件就是“当圆的内接正多边形的边数无限增加时”,注意其中“无限”二字。因此在无限过程中,直边形才能转化为曲边形,即在无限的过程中,由直边形的面积数列{Pn}得到了曲边形的面积, 如果仅停留在有限过程或没完没了的变化下去,人们永远也认识不了圆的面积,但是飞跃式的思维方法,不仅使人们看到数列{Pn}的变化是没完没了,永无终结的.同时它又使人们看到了无限变化过程中飞跃式的“终结”,从而人们也就认识了圆的面积。这就是极限的思想和方法在计算圆的面积上的应用。 ; 根据以上的分析，圆的面积可以这样定义：若圆的内接正多边形的面积数列 {Pn} 稳定于某个数a（当n无限增大时），则称a是该圆的面积。 一般地,若数列{xn},当n无限增大时,稳定于某个常数a,称数列{xn}收敛, a为数列{xn}的极限.; 当n无限增大时, 如果数列{xn}的一般项xn无限接近于常数a, 则常数a称为数列{xn}的极限, 或称数列{xn}收敛a, 记为; ;思考 1、第几项后面的所有项与1的差的绝对值小于0.01? 2、第几项后面的所有项与1的差的绝对值小于0.001？ 3、第几项后面的所有项与1的差的绝对值小于0.0001？ 4、第几项后面的所有项与1的差的绝对值小于任意小的正数ε? ; 这就是“当n无限增大时，xn无限地接近于1”的实质和精确的数学描述。;当n无限增大时, xn无限接近于a . ?当n无限增大时, |xn-a|无限接近于0 . ?当n无限增大时, |xn-a|可以任意小, 要多小就能有多小. ?当n增大到一定程度以后, |xn-a|能小于事先给定的任意小的正数.;(2);(3);数列极限定义的“符号化”记法：;注;(ii)定义中的ε具有二重性：一是ε的任意性，二是ε的相对固定性。ε的二重性体现了xn 逼近a时要经历一个无限的过程（这个无限过程通过ε的任意性来实现），但这个无限过程又要一步步地实现，而且每一步的变化都是有限的（这个有限的变化通过ε的相对固定性来实现）。; (iii)定义中的N是一个特定的项数，与给定的ε有关。 重要的是它的存在性，它是在ε相对固定后才能确定的，且由|xn－a|＜ε来选定，一般说来，ε越小，N越大，但须注意，对于一个固定的ε，合乎定义要求的N不是唯一的。用定义验证xn 以a 为极限时，关键在于设法由给定的ε，求出一个相应的N，使当n ＞N时，不等式|xn－a|＜ε成立。;(iv)定义中的不等式|xn－a|＜ ε（n ＞N）是指下面 一串不等式;都落在a点的ε邻域;以下几种叙述与极限 的定义是否等价?并说明理由.;;;;;分析: ;例2 证明;例3 证明;例;分析: ;由上面数列极限的证明可总结出数列极限证明的步骤;;0; 例6 ;a;数列极限的一个等价定义 ;;;; 在所有收敛数列中，有一类重要的极限，称 为无穷小数列，定义如下： ;四、小结：;作业：p27：2（1）、（2）， 3（2）、（3）、（4），4;