数列的极限函数的极限PPT.ppt

第二章 极限与连续 ; 纵观微积分的发展史，微积分发展初期进展非常缓慢，究其原因，是因为没有形成系统的理论基础，而理论基础的核心是极限。极限的思想源远流长，庄子在《天下篇》中写道“一尺之棰，日取其半，万世不竭”；刘徽的“割圆术”中说“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至不可割，则与圆周合体，而无所失矣”。 ; 这都是极限思想的体现，古今中外一些学者虽曾有意无意地引用了一些极限方法，并隐约地体会到这种方法的重要性，但至到17世纪，数学家们还是觉得极限概念十分模糊。18世纪，法国数学家、哲学家达朗贝尔首次把极限理论作为分析的基础，并给出了比较反映其实质的极限定义，19世纪，法国数学家柯西出版了他的《分析教程》、《无穷小计算教程》、《微分计算教程》等具有划时代意义的著作，给出了比较严密的极限定义，从而将微积分建立在坚实的基础上，带动了微积分的飞速发展。; 什么是极限？我们知道，微积分的研究对象是函数，函数有两个变量，极限就是研究函数当它的自变量有一个无限变化时，其因变量(函数值)的变化趋势。;一、数列的极限;割圆术：;割圆术：;“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”;“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”;“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”;“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”;“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”;“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”;“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”;通过上面演示观察得: 若正多边形边数n无限增大，则 正多边形周长无 限接近于圆的周长。;2、截丈问题：;(二) 数列的极限的有关知识;在几何上一个数列可看成实数轴上的一个点列，也可看一个动点在数轴上依次取??.; 例1;xn;…;0;x;1;(三)、数列极限的直观描述;3、举例 例1 判断下列数列极限 ;问题:;问题:; 这就是“当n无限增大时，xn无限地接近于1”的实质和精确的数学描述。;如果数列没有极限,就说数列是发散的.;(四)、数列极限的ε—N定义;注; ③ 定义中的N是一个特定的项数，与给定的ε有关。 重要的是它的存在性，它是在ε相对固定后才能确定的，且由|un－a|＜ε来选定，一般说来，ε越小，N越大，但须注意，对于一个固定的ε，合乎定义要求的N不是唯一的。 ④ 用定义验证un 以a 为极限时，关键在于设法由给定的ε，求出一个相应的N，使当n ＞N时，不等式|un－a|＜ε成立。;⑤ 定义中的不等式|un－a|＜ ε（n ＞N）是指下面 一串不等式;;例2 利用定义证明 ;二、函数的极限;1. x →∞ 时函数?(x)的极限;;发现问题没有?;;2 . x→x0 时函数?(x)的极限;例：观察并求出下列极限;中所讨论的x→x0 即x可从 x0 的左右;;(1) 左、右极限均存在, 且相等；;左右极限存在但不相等,;例;例 已知 ;④ 讨论分段函数在分段点的极限的步骤:;四、函数极限的几个重要性质;最后归纳：函数极限(包括数列)概念都可以叙述为：