2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算(教案).doc

2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 2.3.3 平面向量的坐标运算 【教学目标】 1、知识与技能 理解平面向量的坐标表示的概念，会写出直角坐标系内给定向量的坐标，会作出已知坐标表示的向量，掌握平面向量的坐标运算，掌握平面向量的和、差及实数与向量的积的坐标表示方法，理解一个向量的坐标等于表示该向量的有向线段的终点坐标减去起点的坐标。 2、过程与方法 在平面向量的坐标表示的推导过程中，让学生掌握平面向量基本定理中基底的特殊化。 3、情感、态度与价值观 让学生感受向量的坐标运算的简洁美与和谐美。 【教学重点】 平面向量的坐标运算。 【教学难点】 理解向量坐标化的意义。 【教学过程】 〖创设情境 导入新课〗 【导语】如图，光滑斜面上一个木块受到重力的作用，产生两个效果，一是木块受到 斜面的力的作用，沿斜面下滑； 一是木块产生 斜面的压力，也就是说，重力的效果等价于和的 力的效果，即：,叫做把重力 。 类似地，由平面向量的基本定理，对平面上的任意向量，均可以分解为不共线的两个向量和，使。而在不共线的两个向量中，垂直是一种重要的情形。 把一个向量分解为两个 的向量，叫做把向量正交分解。 在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，会为我们研究向量问题带来很大的方面。在代数中我们经常把向量放在平面直角坐标系中进行研究，而在平面直角坐标系中我们可以在轴和轴上分别取两个 向量和，则，且可以作为一个基底。由平面向量基本定理可知，我们就可以把平面上的任意一个向量在基底下进行分解，从而对向量作进一步的研究。既然我们现在是在平面直角坐标系中选取了两个单位向量作为基向量来对向量进行分解和研究，而看到平面直角坐标系我们很自然就想到了坐标，那么要在直角坐标系中研究向量，就应该想到，在平面直角坐标系中，向量又是否有坐标呢？我们知道，在平面直角坐标系中，平面内的每一个点都可用一个有序实数对来表示，这个有序实数对就叫做这个点的坐标，并且每一个点都可与其坐标可以建立 对应关系。那么，如果我们把向量也放入直角坐标系内，向量又能否用一个有序实数对来作为它的坐标呢？今天我们就在平面向量基本定理基础之上来探讨这个问题:平面向量的坐标运算 【问题】如图所示：（1）写出两点的坐标； （2）若，以向量为基底表示向量。 【交流】（1）； （2）。 【猜想】的坐标为 。 〖合作交流 解读探究〗 1、平面向量的坐标表示： 一般地，在平面直角坐标系内，我们分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量作为基向量（为一个 基底）（单位正交基底：，且）。由平面向量基本定理知，对于平面内的任一向量，有且只有一对实数使得：。 我们把有序实数对 叫做向量的（直角）坐标，记作：。其中 叫做在轴上的坐标（横坐标）， 叫做在轴上的坐标（纵坐标），叫做向量的坐标表示。如图（1） 【说明】（1）设是平面上的一个单位正交基底，则： ； （2）平面内的每一个向量的坐标是 的。 （3）； （4）两向量相等的充要条件是它们对应的 相等。即： 若，则；如图（2） （5）相等的向量的坐标 ，但它们起点和终点的坐标可以对应不同。 （6）若，则。即：起点在原点的向量的坐标与其终点的坐标 。由此可知：在平面直角坐标系内，以原点为起点作，则点的位置由唯一 。如图（3） （7）注意区分点的坐标的记法与向量的坐标的记法：点的坐标的记法是表示点的大写字母后面直接跟点的 ，如点；向量的坐标的记法是表示向量的字母和其坐标之间用 连接。如向量。 【例1】课本 例2 【思考】已知，你能得出的坐标吗？ 2、平面向量的坐标运算： （1）若，则： ①； ②； ③。 【证明】 【例2】课本 例4 【练习1】课本 练习1、2 1。已知向量a,b的坐标，求a+b,a-b的坐标： （1）a=(-2,4),b=(5,2); (2)a=(4,3),b=(-3,8); (3)a=(2,3),b=(-2,-3); (4)a=(3,0),b=(0,4). 解：（1） + ＝ ； － ＝ 。 （2） （3） （4）