清华大学马连荣03函数极限PPT.ppt

3.2 区间套定理与列紧性定理 定理3.2.1 (闭区间套定理) 满足下列条件: 也就是说, 注 如果将闭区间改成开区间，则定理的结论不再成立. 3.2.1 闭区间套定理 闭区间套定理的证明 考察两个点列： 于是两个极限都存在： 并且 因此 再证明这一列区间的交集只包含一个点ξ . 因此 定理 3.2.2 (Bolzano-Weierstrass定理) 有界点列必有收敛子列. 3.2.2 列紧性定理 设数列 有界. 首先存在 任意取定 分区间 为 中无穷多项， 则其中至少有一个含有数列 取其中含有数列 中无穷多项的一个区间记为 任取 使得 例3.2.1 设数列 都有界. 且数列 都收敛. 使得子列 收敛. 因为数列 有界, 故存在正整数列 的相应子列 有界， (因为 有界), 所以有收敛子列 收敛数列 的相应子列 当然也收敛. 则存在正整数列 满足 证明: 定义3.2.1 (柯西列) 就有 注 (柯西列的等价表述) 定理3.2.3 (柯西收敛准则) 以下两个命题等价： 注 柯西收敛准则的核心是：柯西点列必有极限． 柯西收敛准则说明：实数集对于极限是封闭的． 实数系的这个性质称为实数的完备性． 有理数系不具有完备性． 是柯西列，但在有理数系中不存在极限． 证明： 必要性. 设数列 收敛，则 当 时，有 从而有 充分性. 设数列 为Cauchy列，则 对于正数 存在 有 所以 有 所以数列 有界有收敛子列 记 对于任意 存在 存在 取 ，当 时有（ ） 例3.2.2 数列 发散. 所以有 证明： 存在 由Cauchy收敛准则， 数列 发散. 例3.2.3 证明： 数列 收敛. 要 即 只要 只要 只要 即 即 , 只要 . 所以, 有 由Cauchy收敛准则, 数列 收敛. 作业 P100 2,3 P62 3,4 2.3 函数极限的概念和性质 2.3.1 自变量 x 的六种变化趋势 2.3.2 函数极限的定义 2.3.3 函数极限的性质 表示动点 x 从定点 x0 的左侧无限趋向于 x0 的无限过程. 在这个无限过程中, 始终保持 x x0 . 表示动点 x 从定点 x0 的右侧无限趋向于 x0 的无限过程. 在这个无限过程中, 始终保持 x x0 . 是动点 x 受到限制的变化过程 . 2.3.1 自变量 x 的六种变化趋势 在这个过程中, x 可以变得大于任意事先指定的正数 M. 表示变量 x 的值无限增大的过程. 此时称 x 趋向于正无穷大,或趋向于正无穷. 表示变量 x 的值无限减小的过程. 在这个过程中, x 可以变得小于任意事先指定的负数 N. 此时称 x 趋向于负无穷大,或趋向于负无穷. 表示变量 x 的绝对值 |x| 无限增大的过程. 在这个过程中, |x| 可以变得大于任意事先指定的正数 M. 定义 2.3.1（函数在一点的极限） 记作 或者 注 2.3.2 函数极限的定义 单侧极限 (左极限) 定义2.3.2 或者 设函数在 x0 的左侧某个区间 (x0–?, x0) 中有定义. 记作 则称当x?x0-时, f (x)的左极限是 A. (右极限) 定义2.3.3 或者 记作 则称当x?x0+时, f (x)的右极限是 A. 设函数在 某区间 (x0, x0 +?) 中有定义. 证 例2.3.1 于是由函数极限概念推出 要 即要 只要 所以 定理 2.3.1 定义 2.3.2（函数在无穷处的极限） 或者 类似地, 可以定义当 x→-∞，x → ∞ 时, 函数的极限 . 证 例2.3.2 所以 于是由函数极限概念推出 要 只要 (因为 ) 只要 例 2.3.3 设 用定义证明 证 要 只要 只要 只要 所以 有 所以 例 2.3.4 用极限定义证明 证 要 只要 1) 只要 只要 2) 当 时, 只要 (因为此时 ) 只要 所以 有 即 例 2.3.5 用极限定义证明 证 要 只要 只要 只要 所以 所以 例 2.3.6 用极限定义证明 证 要 设 只要 只要 只要 只要 只要 只要 只要 所以 所以 极限的唯一性 在 x 的同一个变化过程中, 如果同时有 存在极限的函数局部有界. 具体地说就是: 则存在正数 ? , 则存在正数 ? , 性质 1 性质 2 2.3.3 函数极限的性质 * *