例谈如何证明线段垂直.doc

例 谈 如 何 证 明 线 段 垂 直 重庆市开县渠口初中（405401） 李堂军 一、利用“若三角形两内角互余，则第三内角为直角”证明 例1：已知，如图，P是正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥BC于E，PF⊥DC于F。连结EF，AP的延长线交EF于G点。 求证：PG⊥EF 证明：连结PC ∵点A与C关于BD对称 ∴∠BAP=∠PCB ∵四边形PECF为矩形 ∠PCB=∠FEC ∠FEC=∠PFE ∴∠BAP=∠PFE 又∵PF∥AD ∴∠PAD=∠GPF ∴∠BAP+∠PAD=∠PFE+∠GPF=90° ∴PG⊥EF 二、利用“三线合一”性质证明 例2 已知：如图△ABC中，AB=2AC，CE为AB边上的中线，D是BC边上一点，且BD=2DC。 求证：CE⊥AD 证明：作EF∥AD交BC于F，设EC交AD于G点。 ∵AB=2AC、E为AB中点 ∴AE=AC 又∵E为BD中点，EF∥AD ∴F为BD中点 ∵BD=2DC ∴D为EG中点 ∴G为EG中点 ∴AG⊥EC即CE⊥AD 三、利用“直径所对圆周角是直角”证明 例3 已知：如图在Rt△ABC中，AD是斜边BC之高，E是BD上一点，EF⊥AB，EG⊥AC于G，连结DF，DG。 求证：DF⊥DG 证明：如图连接AE、FG交于点O，连结OD ∵∠BAC=90°、EF⊥AB、EG⊥AC ∴四边形FEGA为矩形 ∴OE=OF=OA=AE且∠FEG=90° ∴在Rt△ADE中，OD=OE =AE ∴D、E、F、G四点共圆且以GF为直径 ∴DF⊥DG 四、利用“四点共圆”证明 例4：⊙O为△ABC外接圆，BD、CE分别是△ABC中AC、AB上的高。 求证：AO⊥DE 证明：延长AO交⊙O于F， 连结BF，则∠ABF=90° ∵CE⊥AB、BD⊥AC ∴∠BFC=∠BCD=90° ∴B、E、D、C四点共圆 ∴∠AED=∠ACB=∠F ∴∠F+∠BAF=90° ∴∠AED+∠BAF=90° ∴AG⊥DE 即AO⊥DE 五、利用“相似三角形对应角相等”证明 例5：如图，Rt△ABC内接于⊙O，斜边BC的高AH的延长线交⊙O于D，E为AC中点，延长EH交BD于F。 求证：EF⊥BD 证明：∵E为AC中点 ∵EH=AE ∴∠FHD=∠AHF=∠HAE， ∠C=∠D ∴△AHC∽△HFD ∴∠HFD=∠AHC=90° ∴EF⊥BC 六、利用“垂心”性质证明 例6：如图，△ABC中，AB=AC，过BC中点D作DE⊥AC于E，G为DE中点。 求证：AG⊥BE 证明：过G作GE∥BC交AC于F 连结DF则DF∥BE ∵CD⊥AD∴FG⊥AD 又DE⊥AC ∴G为△ADF垂心 ∴AG⊥DF ∴AG⊥BE P E D F B A C G A C B E G D F A B C D F E G O A E C D B F o C D B A E F H C E F D B G A