第二章 极限与连续PPT.ppt

第二章 极限与连续;第一节 数列的极限;正六边形的面积;例如;注意：;;如果数列没有极限,就说数列是发散的.;几何解释:;数列极限的定义未给出求极限的方法.;例2;例3;1、唯一性;2、有界性;定理2 如果数列收敛，则数列一定有界.;注意：有界数列也可能发散;;4、子数列的收敛性;定理4 收敛数列的任一子数列也收敛．且极限相同．;三、小结;;第二节 函数的极限;一、自变量趋向有限值时函数的极限;1、定义：;2、几何解释:;例1;例3;3.单侧极限:;左极限;左右极限存在但不相等,;二、自变量趋向无穷大时函数的极限;1、定义：;2、另两种情形:;3、几何解释:;例5;三、函数极限的性质;定理3 (函数极限的保号性);定理4(函数极限与数列极限的关系);证;例6;二者不相等,;四、极限存在准则;上面两个不等式同时成立,即;注意:;例1;2.单调有界准则;例2;思考题;思考题解答;第三节 极限运算法则、两个重要极限;1、无穷小的运算性质:;注意　无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.;定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.;推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.;定理3;;推论1;意义：;二、例题;小结:;解;解;例4;小结:;例5;例6;例7;思考题;思考题解答;三、两个重要极限;;例3;(2);类似地,;;;例4;第四节 无穷小与无穷大;一、无穷小;例如,;证;二、无穷小的比较等价无穷小;定义:;例如，;例1;证;例2 因为;例3;定理２(等价无穷小代换定理);例4;例5;三、无穷大;特殊情形：正无穷大，负无穷大．;不是无穷大．;证;四、无穷小与无穷大的关系;意义 关于无穷大的讨论,都可转化为关于无穷小的讨论.;第五节 函数的连续性;一、函数的连续性;;;例1;定理;在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.;例2;例3;二、函数的间断点及类型;可去间断点;解; 跳跃间断点;第二类间断点;例7;三、初等函数的连续性;例如,;定理3;例1;;定理4;三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.; 基本初等函数在定义域内是连续的.;1. 初等函数仅在其定义区间内连续, 在其定义域内不一定连续;;例3;;第六节 闭区间上连续函数的性质;一、有界性与最大值和最小值定理;定理1(有界性与最大值最小值定理) 在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值.;注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立; 2.若区间内有间断点, 定理不一定成立.;二、零点存在定理与介值定理;几何解释:;几何解释:;推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 与最小值 之间的任何值.;例2