第二章 数列与极限PPT.ppt

* * * * * * * * * 如何证明单调性、有界性？ ?方法指引 P34 习题 4(4)(5)(6) P38-39 习题 1(1)(3)(5)，2，3,5,6， 7,8 zwj@szu.edu.cn * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 例3. 求 例4. 求 例5. 求 本节课给出了收敛数列的极限唯一性、数列有界性、极限保号性、极限保序性等定性性质，建立了四则运算法则。同学要理解收敛数列的这些定性性质，会用四则运算法则计算一些极限。 除了讲授中介绍的具体知识点之外，同学们应当重点体会： 处理极限问题的精细思维方式。 本节的所有性质均仅依赖于数列极限的定义，同学们要深刻领会极限的本质。 P27 习题 3(2)(6)(7） P33-34 习题 1(1)(3)(4)(6), 2, 3, 4（1）（2），5，7， 9 zwj@szu.edu.cn 第三讲 §3 数列极限存在的条件 迫敛性，两边夹定理 单调有界收敛准则 Cauchy收敛准则 数列收敛的子列刻画 数列收敛的子列刻画 1 Subsequences Criteria of Convergent Sequences 定义1 平凡子列, 非平凡子列 定理2.8 定理2.8给我们提供了一个判断数列发散的有力工具. 数列无极限(发散)的判别法 1. 无界数列必定发散. 2. 一子列发散,则数列发散. 3. 两子列收敛到不同的极限,则数列发散. 迫敛性，两边夹定理 2 Squeez Theorem, Sandwich Theorem, Pinching Theorem 定理2.6 (迫敛性，两边夹定理) 例2. 应用 其中a0. 单调有界收敛准则 3 Convergence of Bounded Monotonic Sequences 递增数列和递减数列统称为单调数列. 定理2.9 (单调有界收敛准则) 在实数系中, 单调有界数列必有极限. ? 例1. 设 例2. 证明数列 收敛, 并求其极限. (n=1,2,…)， 思考 设 试探讨该数列的收敛性；若收敛，求其极限. (n =1,2,…)， 数列由递推关系给出时，求极 限或证明极限存在，往往 用单 调有界准则。 ?方法指引 有界性的证明一般有如下几种方法： 根据已知条件推断出界，加以说明或证明； 通过观察找出界，并用归纳法证明； 先设想极限存在, 求出极限，根据极限估计出界，并用归纳法证明; 注意合理使用不等式,如:算术几何平均不等式. 单调性的证明一般有如下几种方法： 用观察法. 如：单增情况 根据第一、第二项的大小关系，确定单调递增或递减性，并用归纳法证明. 例3. 思考 例4. 证明 存在. 记 这是一个超越无理数！ Cauchy收敛准则 4 Cauchy’s Convergence Criteria 定理2.10 (Cauchy收敛准则) 例5. 满足Cauchy条件. 补例1. 补例2. 发散. 本节学习了判别数列极限存在性的四个准则。其中，子列判别法主要用于发散性判别；两边夹定理不仅指出了极限存在性，还给出了极限值；单调有界收敛准则和Cauchy收敛准则则只指出极限存在性。同学们要领会四个准则的实质，并熟练掌握用其论证极限存在性的方法。 1. 充分理解数列极限的?-N定义及其等价定义,知道它们的适用范围。 2. 掌握数列极限的唯一性、有界性和保号性等定性性质，掌握四则运算性质。 3. 掌握数列收敛的四个判别准则及其适用范围。 4. 熟练应用数列的?-N定义证明某些极限问题；熟练应用四则运算法则计算一些基本数列极限。 充分理解四个判别法的运用，会用它们解决数列极限问题。 会判断发散数列。 用定义证明 的逻辑步骤 由于 可取N=… 故对任给的 ， 一个包含n的代数式 则当nN时，总有, 一个包含N的代数式 算出使r(N)? 的最小的N 因此 ?方法指引 例6. 例7. 例8. 在 定义中需注意以下几点： 求解不等式而得，不惟一 等价定义 ???0，在U(a, ?)外至多只有{an} 的有限多项。 OK! We find the N ! nN ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● NO, Some points are outside the band domain！ 3. 定义的几何意义. N ? 取得越小, 对N 要求越大 3. 定义的几何意义. 对比 例9. 例10. 数列无极限(发散)的情况：震荡，无界 例11. 例12. 改变数列的有限