第二节数列的极限PPT.ppt

四则运算中的加减乘是有限项之间进行的 条件满足，则结论肯定存在 条件不满足呢? 问题是我们求极限的时候往往是条件不成立的 即给我们的数列形式不是直接可以用公式来求解的. 下面通过举例来说明： 要对数列的形式进行适当的恒等变换， 使其满足四则运算的条件 几个简单重要的极限 例1 考虑下面的问题： 每一部分的极限都是0 0＋0＋……+0=0 事实上原式＝1 这是错的 极限相加相乘只限有限项相加相乘 例2 例3 例4 例5 第二节 数列的极限 一、数列的极限的定义 二、收敛数列的性质 为了理解极限的概念，先看下面的例子： 17世纪有了微积分， 极限的过程是一个无限的过程。 极限是微积分的一个重要工具， 是现代数学的最基本的概念。 用有限多的思维语言来描述一个极限的过程 是相当困难的事情。 也有了很好的应用， 但关于极限的定义直到18 世纪才有。 而无所失矣” （1）割圆术： ——刘徽 1. 数列极限概念的产生 一、数列极限的定义 “割之弥细， 所失弥少， 割之又割， 以至于不可割， 则与圆周合体 正六边形的面积 正十二边形的面积 正 形的面积 设想 ，内接正多边形的 无限趋近于一个 确定的常数 面积无限接近于圆面积，即 (圆面积）. （2）截杖问题： “一尺之棰，日截其半，万世不竭” 3. 数列极限的定义 定义1: 当 无限增大时, 无限接近于某一确定的常 则称数列 以 A 为极限,记作： 或 数A， 如果数列没有极限,就说数列是发散的. 定义2: 如果对于任意给定的正数 e （不论它多么小) 总存在正整数 N, 使得对于 N n 时的一切 n x 不等式 e - a x n 都成立， 那末就称常数 a 是数列 n x 的极限， 或者称数列 n x 收敛于 a， 记为 , lim a x n n = ￥ ? 或 ). ( ￥ ? ? n a x n 当 正整数 时， 注意： 1. 具有任意性， 才刻划了 与 的无限接近. 3.数列极限与数列的有限项无关, 4. 几何解释: 2. 一般情况下， 与 有关. 值不影响其敛散性, 这一点很重要， 5. N不是唯一的。 唯有如此 改变数列有限项的 也不改变极限值. 重要的是N是存在的 6. 对于 e0,M为正常数 存在正整数 N, 使得对于 N n 时 有 , lim a x n n = ￥ ? 则有 例1: 取: 例2: 已知: 证明: 取: 例3:设 证明数列 的极限为0. 取: 例4: 例5: 已知: 证明: 例6: 证明: 例7: 证明: 例8: 证明: 例9: 证明: 1. 唯一性 定理1 如果数列 收敛，那么它的极限唯一。 二、收敛数列的性质 例： 2. 有界性 定理2 推论: 无界数列必定发散. 如果数列 收敛，那么它一定有界。 3. 收敛数列的保号性 定理3 且 当 时都有 则存在正整数 推论: 若数列从某项起 4. 收敛数列与其子数列间的关系 例如， 定理4 收敛数列的任一子数列也收敛,且极限相同． 内容小结 1. 数列极限的 “ ? – N ” 定义及应用 2. 收敛数列的性质: 唯一性 ; 有界性 ; 保号性; 任一子数列收敛于同一极限 * *