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第五节 极限的存在性定理PPT
若 yn ? M , M?R , 则称 {yn} 有上界. 若 yn ? M , M?R， 则称 {yn} 有下界. {yn}:有界 ?? 既有上界又有下界. 一个数列有界(有上界, 有下界), 则必有无穷多个界(上界, 下界). 第五节 极限的存在性定理 定理2.14 单调有界数列必有极限. 单调有界准则 例1 设 时有 且 求 解 由 故 单调 由 故 有界 综上所述, 数列极限存在. 且 得 同理 由 设 两边取极限,得: 得 由于 且数列单调增加，故 例2 求数列 的极限. 解 (1)存在性 令 单调性 时 设 时 (2)求值 设 将 两边求极限 得 即 故 例 求数列 的极限. 例2 设 ,求 解 (1)求值 设 则 即 故 因 定理2.15 如果数列 满足下列条件 (1)从某项开始有 (2) 则 数列 极限存在, 并且 证 由已知, 对 同时成立 即 夹逼准则 所以 成立 因此 注 (1)此定理称为两边夹法则或夹逼定理. (2)不等式两边极限必须存在且相等. (3)此定理对一般函数极限仍然成立. 例3 求 解 因为 且 所以 原式 例4 求 解 因为 且 所以 原式
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