倒立摆系统的降阶观测器设计.doc

倒立摆系统的降阶观测器设计 一、立论依据 状态观测器的设计使在状态变量未知的情况下能够实现状态反馈控制器的设计，它是对系统所有的状态分量进行分析和重构。而在实际中，并不是所有的状态变量都不能直接测量，在输出量中就能直接测量到部分状态变量。对于倒立摆系统 = y=Cx= 我们有 y=Cx== 因此状态变量是可以直接测量的。我们只需对状态变量进行估计就可以了。要估计得状态变量由原来的四个减少到现在的三个，降低了观测器的维数，也降低了计算和设计的复杂性。因此，降阶观测器的思想是用低于系统维数的观测器对不能直接从系统中测量输出中提取的状态分量进行估计。 二、研究目标 分析状态变量中可直接测量部分和不可直接测量部分的关系，利用全阶观测器的设计方法给出估计不可直接测量部分状态的降阶观测器设计方法。 三、研究内容 1)降阶观测器的设计。 2)基于降阶观测器的控制器设计。 四、技术路线： 对于系统 其中，x，A,B,和C是已知的适当维数的实常数矩阵。我们给出基于观测器的输出反馈控制系统结构图： 图1基于观测器的输出反馈控制系统结构图 降阶观测器为： （2） 其中， ，。 不可直接测量的状态分量的估计量由下式给出： 基于降阶观测器的输出反馈控制器为： （4） 闭环系统的状态方程为： （5） 五、实例验证 考虑文章中提到的倒立摆系统，设计降阶观测器系统。 = y=Cx= Step 1： 对于该状态空间模型，我们验证得其是能控能观的，可以应用状态反馈来任意配置闭环系统的极点。再由分离性原则，我们可以分两个部分来设计基于观测器的输出反馈控制器，即状态反馈部分和估测器部分。 Step 2：（降阶观测器的设计） 由系统的输出y，也就是状态变量是可直接测量的，那么只需估计状态变量，即要设计的降阶观测器是3阶的，有3个观测器极点。选择观测器极点 将状态变量和矩阵A,B作如下分块： ， A= ，B= 因此， ，=，=，= 执行以下的m-文件： %输入系统的分块矩阵 Aaa=0; Aab=[1 0 0]; Aba=[0;0;0]; Abb=[0 -1 0;0 0 1;0 11 0]; Ba=0; Bb=[1;0;-1]; V=[-8 -40 -85]; %求降阶观测器的增益矩阵 L=(acker(Abb,Aab,V)); %确定降阶观测器的系数矩阵 Ahat=Abb-L*Aab; Bhat=Ahat*L+Aba-L*Aaa; Fhat=Bb-L*Ba; 可得： L = 133 -4411 -28663 Ahat = -133 -1 0 4411 0 1 28663 11 0 Bhat = -13278 558000 3763658 Fhat = 1 0 -1 因此降阶观测器的增益矩阵=，具有期望极点的降阶观测器为 其中是降阶观测器的状态，系统状态中不可测量部分的估计值为 =y 状态估计的误差动态方程为 以下进一步通过仿真来验证检测器的效果。取初始误差向量为, 执行以下的m-文件 %输入误差系统的状态空间模型 AA=[-120 -1 0;2111 0 1;11320 11 0]; BB=[0 0 0]; C=[1 0 0]; D=0; %误差系统的初始状态响应 e0=[2 0.1 -0.1]; t=0:0.01:4; sys=ss(AA,BB,C,D); [y,t,e]=initial(sys,e0,t); subplot(1,3,1);plot(t,e(:,1)),grid; ylabel(e2);xlabel(time); subplot(1,3,2);plot(t,e(:,2)),grid; ylabel(e3);xlabel(time); subplot(1,3,3);plot(t,e(:,3)),grid; ylabel(e4);xlabel(time); 可得状态估计的误差曲线如图1所示： 图2: 状态估计得误差曲线 由图1的仿真取向看出，尽管系统的真实状态和观测器的初值有误差，但随着时间的推移，它们之间的误差将衰减为零。 Step 3: （状态反馈控制器的设计） 我们知道，将闭环极点配置在左半开平面可以保证系统是渐进