高等数学1-2极限的概念、无穷小与无穷大(上)PPT.ppt

* 函数的极限 小结 作业 数列的极限 第二节 极限的概念、无穷小与无穷大(上） 第一章 极限和函数的连续性质 一、概念的引入 极限概念是从常量到变量, 从有限到无限, 即从初等数学过渡到高等数学的关键. 极限的思想源远流长. 庄子(约公元前355~275年)在《天下篇》 “一尺之棰,日取其半,万世不竭”. 意思是: 一尺长的棍子, 第一天取其一半, 第二 天取其剩下的一半, 以后每天都取其剩下的一 半, 这样永远也取不完. 数列的极限 中写道: 割圆术： “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” ——刘徽 引例. 设有半径为 r 的圆, 逼近圆面积 S . 用其内接正 n 边形的面积 * 极限的概念 割圆术： “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” ——刘徽 引例. 设有半径为 r 的圆, 逼近圆面积 S . 用其内接正 n 边形的面积 极限的概念 割圆术： “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” ——刘徽 引例. 设有半径为 r 的圆, 逼近圆面积 S . 用其内接正 n 边形的面积 极限的概念 “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” 割圆术： ——刘徽 引例. 设有半径为 r 的圆, 逼近圆面积 S . 用其内接正 n 边形的面积 极限的概念 “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” 割圆术： ——刘徽 引例. 设有半径为 r 的圆, 逼近圆面积 S . 用其内接正 n 边形的面积 极限的概念 “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” 割圆术： ——刘徽 引例. 设有半径为 r 的圆, 逼近圆面积 S . 用其内接正 n 边形的面积 极限的概念 “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” 割圆术： ——刘徽 引例. 设有半径为 r 的圆, 逼近圆面积 S . 用其内接正 n 边形的面积 极限的概念 “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” 割圆术： ——刘徽 引例. 设有半径为 r 的圆, 逼近圆面积 S . 用其内接正 n 边形的面积 极限的概念 “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” 割圆术： ——刘徽 引例. 设有半径为 r 的圆, 逼近圆面积 S . 用其内接正 n 边形的面积 极限的概念 * 数列： 按照自然数的顺序排列的一列数 简记为 通项 或者一般项. 极限的概念 二、数列 及其极限 1.数列的概念 整标函数： 定义域为全体正整数的函数 称为整标函数。 例如 任何实数在数轴上都对应唯一的一个点，因此数列在数轴上对应一个点列。 * 极限的概念 类似于函数的有界性和单调性，可以定义数列的有界性和单调性。 回忆： 数列的有界性 例如 有界数列 有界数列 无界. 数列的单调性： 单调增加数列和单调减少数列统称为单调数列。 例如 单调减少数列 没有单调性 在数轴上，单调数列的项只向一个方向移动 有极限 没有极限 2、数列极限的概念 当n无限增大时, 无限接近于1. 当 无限增大时, 数列 在两个数1和-1 之间来回变化，不会无限接近于某个固定的常数。 数列极限的描述性定义： 定义 设有数列 与常数 如果当 无限增 大时, 无限接近于 , 则称数列 有极限为 或 记为： 或者称数列 收敛于 , 由定义不难看出： 解： 0 确定常数 极限存在 极限的概念 * 0 1 结论：公比绝对值小于1的等比数列极限为0。 极限不存在（发散） 极限不存在（发散） 极限的概念 * * 3.1. 有界性 极限的概念 3、收敛数列的性质 性质1 一个数列有界未必收敛。 逆否命题 注 收敛的数列必定有界. 无界数列必定发散. 例如: 有界但不收敛 * 极限的概念 3.2. 唯一性 性质2 每个收敛的数列只有一个极限. 3.3. 保号性 性质3 如果 且 推论 如果数列 从某项起有 且 那么 * 函数在无穷远点的极限 函数在一点的极限 三、 函数的极限 对于数列,即整标函数 其自变量的变化只有一种情形. 而对于一般函数 来说,有: 极限的概念 1 当x→x0时,函数f (x)的极限 定义 设函数 f(x)在 的某去心邻域内有定义（x0可以除外）,如果当x 趋近于x0 （但x不等于x0 ）时,函数 f(x)的函数值无限趋近于某个确定的常数A,则称A为函数 f(x) 当x→x0时的极限， 或