高等数学A-第1章-1-2(数列的极限)PPT.ppt

高等数学A 第1章 函数与极限 中南大学开放式课堂教学 1.2 数列的极限 1.2.1 数列极限的概念 1.2.2 数列极限的性质 1.2 数列的极限 1.2.1 数列极限的概念 数列的定义 数列极限的定义 实例与描述性定义 数列极限的精确定义 数列极限的几何解释 用定义验证数列极限 步骤 数列的极限习例1-6 1.2.2 数列极限的性质 极限的唯一性 收敛数列的有界性 收敛数列的保号性 收敛数列与其子数列的关系 数列极限 概念的引入 一、数列极限 “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” (1)割圆术： ——刘徽 正六边形的面积 正十二边形的面积 正 形的面积 (2)截丈问题： “一尺之棰，日截其半，万世不竭” 1. 数列的定义 按一定顺序排列的无穷多个数 例如 从函数观点看，数列是以自然数为自变量的整标函数 从几何上看，数列是数轴上的动点. 数列的单调性: 数列的有界性: 数列极限的精确定义 注意: (5)数列极限的定义没有给出求极限的方法，只能验证. 数列极限的几何解释 而在其内有无穷多项. 且随着? 越小，N 越大，则在 (a? ?，a ??)外的项就越多，但不管怎么多都只可能是 有限项. 步骤: (3)得出结论: 3. 用定义验证数列极限 注意: (1)由于N 不唯一,不要求最小的N,故可把 |an?a|适当放大,得到一个新的不等式,再寻找 N. (2)从 |an?a|? 找 N 与解不等式 |an?a|? 意义不同. 用数列极限的定义验证下列数列的极限： 证明: 证明: 证明: 证明: 证明: 例6. 证明: 定理1(极限的唯一性) 如果一数列收敛，那么它的极限唯一. 证明：用反证法. 假设： 4. 数列极限的性质 这一矛盾证明了: 定理2(有界性) 收敛数列必有界. 证明: 推论：无界数列必定发散. 定理3(收敛数列的保号性) 证明: 不妨假设 ， 推论：如果数列从某项起有 ，且 , 一