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分数求和方法
分数求和方法小结
分数求和的常用方法:
1、公式法,直接运用一些公式来计算,如等差数列求和公式等。
2、图解法,将算式或算式中的某些部分的意思,用图表示出来,从而找出简便方法。
3、裂项法,在计算分数加、减法时,先将其中的一些分数做适当的拆分,使得其中一部分分数可以互相抵消,从而使计算简便。
4、分组法,运用运算定律,将原式重新分组组合,把能凑整或约分化简的部分结合在一起简算。
5、代入法,将算式中的某些部分用字母代替并化简,然后再计算出结果。
典型例题
一、公式法:
计算:++++…++
分析:这道题中相邻两个加数之间相差,成等差数列,我们可以运用等差数列求和公式:(首项+末项)×项数÷2来计算。
++++…++
=(+)×2007÷2
=
二、图解法:
计算: +++++
分析:解法一,先画出线段图:
从图中可以看出: +++++=1-=
解法二:观察算式,可以发现后一个加数总是前一个加数的一半。因此,只要添上一个加数,就能凑成,依次向前类推,可以求出算式之和。
+++++
= +++++(+)-
= ++++(+)-
……
= ×2-
=
解法三:由于题中后一个加数总是前一个加数的一半,根据这一特点,我们可以把原式扩大2倍,然后两式相减,消去一部分。
设x= +++++ ①
那么,2x=( +++++)×2
=1+ ++++ ②
用②-①得
2x-x=1+ ++++-( +++++)
x=
所以, +++++=
三、裂项法
1、计算:+++++……++
分析:由于每个分数的分子均为1,先分解分母去找规律:2=1×2,6=2×3,12=3×4,20=4×5,30=5×6,……110=10×11,这些分母均为两个连续自然数的乘积。
再变数型:因为==1-,==-,==-,……,==-。这样将连加运算变成加减混合运算,中间分数互相抵消,只留下头和尾两个分数,给计算带来方便。
+++++……++
=1-+-+-+……+-+-
=1-
=
2、计算:+++……++
分析:因为=1-,=-,=-……=-,=-。所以,我们可以将题中的每一个加数都扩大4倍后,再分裂成两个数的差进行简便计算。
+++……++
=(+++……++)÷4
=(1-+-+-+……+-+-)÷4
=(1-)÷4
=
3、计算:21--------
分析:因为=4×=4×=4×(1-),
=4×=4×=4×(-)×,
=4×=4×=4×(-)×,
……
=4×=4×=4×(-)×.
所以,先用裂项法求出分数串的和,使计算简便。
21--------
=21-4×(1-+-+-+……+-)×
=21-2×(1-)
=19
4、计算:+++++……++
分析:仔细观察后发现,每个加数的分子均比分母少1.这样可变形为:=1-=1-,=1-=1-,=1-=1-, =1-=1-,……,=1-=1-.然后再裂项相消。
+++++……++
=(1-)+(1-)+(1-))+……+(1-)
=1×99-(++++……+)
=99-(++++……+)
=99-(1-)
=99
5、计算:1++……+
分析:可以看出,第一项的分母为1,第二项的分母为两个数相加,依此类推,最后一个分母是100个数相加且都是等差数列。这样,利用等差数列求和公式,或利用分数基本性质,变分母为两个数相乘。再裂项求和。
解法一:1++……+
=+
=
=2×(1-)
=
解法二:原式=
=
=2×()
=2×(1-)
=
6、计算:…+
分析:可以把题中的每两个加数分解成两个分数之差:
,,……
,此时,可消中间,留两头进行巧算。
原式=×()+×()+……+×()
=×(++……+)
=×()
=
四、分组法:计算,+--++--++-……--++
分析:算式中共有2002个分数,从第二个分数开始依次往后数,每四个分数为一组,到为止,共有500组,每组计算结果都是0.
原式=+(--+)+(--+)+-……+(--+)+
=+
=
五、代入法:计算(1+)×()-(1+)×()
分析:可以把算式中相同的一部分式子,设字母代替,可化繁为简,化难为易。
设=A,=B,则
原式=(1+A)×B-(1+B)×A
=B+AB-A-AB
=B-A
=()-()
=
热点习题
计算:
1、【1】
2、【】
3、【】
4、
【】
5、【】
6、2+【41】
7、【】
8、【】
9、
【原式=1-+-+-+-+-
=1-()+()-()+…-()
=1-()+()-()+…-()
=1-=】
10、+++----+++…++----++
【从
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