切比雪夫大数定理.ppt

第十一单元 * * §3.5切比雪夫不等式与大数定律 教学目的： 1.理解切比雪夫不等式与大数定律 2.会用切比雪夫不等式及大数定律解题 教学重点：用切比雪夫不等式及大数定律解题 教学难点：用切比雪夫不等式及大数定律解题 瑞士 策马特峰 第五章 大数定律与中心极限定理 设随机变量 X 的方差 D ( X )存在， 则对于任意实数 ? 0, 切比雪夫( chebyshev)不等式 或 当 ? 2? D(X) 无实际意义, 一、切比雪夫不等式 我们已知，随机变量X的方差DX表明X在其数学期望EX的周围取值的分散程度。因此，对任意的正数 事件 定理1 设随机变量X具有数学期望EX=a，和方差 则对于任意正数ε ，不等式 成立，这一不等式称为切比雪夫不等式。下面只对连续型随机变量的情形 证明该不等式。? 的概率应该与DX有关。用数学式子表 示出来，就是下述的切比雪夫不等式。 证：设随机变量有密度函数 ，则 ? (因被积函数大于等于0) 切比雪夫不等式给出了在随机变量X的分布未知的情况下， 只利用X的期望和方差，即可对X的概率分布进行估值。 (由方差的定义) 例1 设有一大批种子，其中良种占1/6. 试 估计在任选的 6000 粒种子中, 良种所占比 例与1/6 比较上下小于1%的概率. 解 设 X 表示 6000 粒种子中的良种数 , X ~ B (6000,1/6 ) 例2 设每次试验中，事件 A 发生的概率为 0.75, 试用 Chebyshev 不等式估计, n 多大 时, 才能在 n 次独立重复试验中, 事件 A 出 现的频率在0.74 ~ 0.76 之间的概率大于 0.90? 解 设 X 表示 n 次独立重复试验中事件 A 发生的次数 , 则 X ~ B(n,0.75) 要使 ，求 n 即 即 由 Chebyshev 不等式，? = 0.01n ,故 令 解得 在概率的统计定义中, 事件 A 发生的频率 “ 稳定于”事件 A 在一次试验中发生 的概率是指： 频率 与 p 有较大偏差 是 小概率事件, 因而在 n 足够大时, 可以用频 率近似代替 p . 这种稳定称为依概率稳定. 大数定律 定理2：设随机变量 相互独立，且数学期望 并且方差是一致有上界的，即存在常数C，使得 则对于任意的正数 ，有 和方差分别为， 证：我们用切比雪夫不等式证明该定理。 由 的相互独立性， 应用切比雪夫不等式，得 因为 ，所以 ，由此得 ，当 时，得 ，但是概率不能大于1， 切比雪夫定理说明：若独立随机变量 的数学期望与方差存在，且方差一致有上界，则经过 算术平均后得到的随机变量 ，当n充分大 值将比较紧密地聚集在它的数学期望 的附近，这就是大数定律 所以有 时，它的 切比雪夫定理的一个重要推论就是著名的伯努利定理 定理3：　在独立试验序列中，设事件A的概率 P（A）=p，则对于任意的正数 ，当试验的次数 时，有 其中 是事件A在n次试验中发生的频率 证明：设随机变量 的次数（i=1,2,…,n,…），则这些随机变量相互独， 服从相同的“0-1”分布，并有数学期望与方差： 于是，有切比雪夫定理得 表示事件A在第i次试验中发生 易知 就是事件A在n次试验中发生的次数 ，由此可知 所以有 伯努利定理说明：当试验在相同的条件下重复进行很 多次时，随机事件A的频率 将稳定在事件A的概 率P（A）附近，这个正确的论断曾经在一系列的科学 试验以及大量的统计工作中得到证实，而伯努利定理 从理论上对此给出了严格的证明。