初等变换与秩.ppt

* * 第一章 矩阵的初等变换 教学目的：通过本节的教学使学生了解矩阵十分重要的运算——矩阵的初等变换、初等方阵的概念，掌握初等变换的方法. 教学要求：理解初等变换、初等方阵的概念，熟练掌握初等变换的运算，会用初等变换将矩阵化为行阶梯形、行最简形、标准形矩阵. 教学重点：矩阵初等变换和初等方阵，用初等变换将 矩阵化为行阶梯形、行最简形、行阶梯形矩阵. 教学难点：用初等变换将矩阵化为行阶梯形、行最简 形、标准形矩阵的方法. 矩阵初等变换和初等方阵的关系. 引例 求解线性方程组 ① ② ③ (1) (1) ÷ 1 2 3 3 ① ② ③ (2) 2 3 －2 + － 1 + (2) 1 ① ② ③ (3) 2 + 3 (3) (4) ① ② ③ 于是得 消元过程利用三种同解变换 把方程组的上述三种同解变换移植到矩阵上，就得到 矩阵的三种初等变换 (1) 交换两个方程的位置 (2) 用一个非零的数乘以某个方程 (3) 将一个方程的k倍加到另一个方程上 可逆 矩阵的初等变换是线性代数中一个重要的工具. ※以上三种变换分别称为矩阵的第一、第 二、第三种初等行(列)变换，通称为初等变换 显然,三种初等变换都是可逆的,且其逆变换是同一类型的初等变换: (1) 对换变换 的逆变换就是其本身 (2) 倍乘变换 的逆变换为 (3) 倍加变换 的逆变换为 利用初等变换可以将矩阵化为梯形阵。 作用 例如： 重要 矩阵A到梯形矩阵的变换过程和结果都不唯一 定理 设A为m×n矩阵，则A必可经过有限次初等变 换化为如下形式 (*) 其中I 称为矩阵A在初等变换下的标准形.简 称为标准形矩阵 证明 若A为零矩阵，则定理显然成立，此时r = 0.否则，必可经过行、列的换法变换是第1行、第1列元素d 不 为零.以 乘第1行，化（1，1）元为1，在经过适当的行、列消法变换，将矩阵化为如下形式 如果bij(i=2,…,m;j=2, …,n)全为零，则B便是形如（*）式的矩阵（r=1）.如若不然，在B的第2~m行，第2~n列中进行上述初等变换，即先使B的（2，2）元非零，化为1，再用适当的倍加变换， 将矩阵的第2行和第2列的其余非零元素都化为0， 注意到这些初等变换不改变B的第1行及第1列的元素 至此，已将矩阵A化为 如此继续下去，最后必能得到一个形如（*）式的矩阵. 此时标准形I是唯一的 ※ 如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B,就称矩阵A与B等价,记作A ? B. ※ 矩阵之间的等价关系具有下列性质： （1）反身性 A ? A （2）对称性 若A?B，则B ? A； （3）传递性 若A ? B，B ? C，则A ? C. ※ 两个线性方程组同解，就称这两个线性方程组等价. 等价类：所有与A等价的矩阵组成的集合 推论:矩阵 A与 B 等价的充要条 件是A与 B有相同的标准形。 在前面例题的计算中，我们既使用了初等行变换，也是用了初等列变换.但在某些场合只允许使用初等行变换.例如，引例中求解方程组的过程对应到相应的矩阵上来，即有 增广矩阵 1)行阶梯形矩阵： 行阶梯形矩阵的特点是： 1 矩阵所有元素全为0的行（若存在的话）都集中在矩阵的最下面 2 每行左起第一非零元素（称为首非零元）的下方元素全为0. 形象地说，可以在该矩阵中画一条阶梯线，线的下方元素全为0；每个阶梯仅有一行，阶梯数既是非零行的行数； 阶梯线的竖线后面的第1个元素即为首非零元. 2) 行最简形矩阵： 行最简形矩阵的特点是： 非零行的首非零元为1，且这些首非零元所在的列的其 它元素全为0. ※ 一个矩阵的行最简形矩阵是唯一的.要解线性方程组,只须把增广矩阵化为行最简形矩阵. 设A为m×n矩阵，则A必可用初等行变换化为 行阶梯形矩阵. 矩阵的秩 秩的定义:矩阵 A 的所有不等于零的子式的最高 阶数称为矩阵 A 的秩.记作 r(A) . 显然:r(O)=0;只要A不是零阵,就有 r(A)0.并且: 故 r(A)=2. 计算复杂