初高中衔接教材之三角函数.doc

A5 三角函数的基本概念 A5-1认识锐角的三角函数 在右图中的为一个直角三角形， 其中。我们从下面两个观点来观察 直角三角形边长的比值与角度的关系： (1) 当锐角的大小固定时，无论将直角三角形画的多大或多小（如下图），由于、、，所以这些直角三角形都相似，即。 由相似三角形的性质，我们知道下列的六个比值都不会随着三角形的大小而有所改变： ； ； ； ； ； 。 (2) 当的大小改变时，如右图，将直角置于坐标平面上，其中以A为原点，C在x轴的正向，并且以为半径画圆。我们发现，当的大小改变时，这几个斜边长相等的直角三角形，它们的两股长也随着变动，于是上面的六个比值将会随着的大小而改变。 由(1)、(2)的讨论可知，当直角三角形中的锐角的大小固定时，这六个边长的比值不会因三角形的大小而改变。但是，当的大小改变时，这些比值也随着改变。于是，角度与比值之间会形成函数的对应关系，我们称之为「三角函数」。 【锐角三角函数的定义】 如右图，为一个直角三角形，其中。令的对边、的邻边和斜边。 现在将前面所提到的六个比值分别定义成下列的六个函数： 的正弦函数； 的余弦函数； 的正切函数； 的余切函数； 的正割函数； 的余割函数。 为了方便，我们将这六个函数分别简记如下： 的正弦函数 = ； 的余弦函数 = ； 的正切函数 = ； 的余切函数 = ； 的正割函数 = ； 的余割函数 = ， 其中sin、cos和tan分别为sine、cosine和tangent的简写；cot、sec和csc则分别为cotangent、secant和cosecant的简写。 至于三角函数的中文命名请观察右图，以原点O为圆心的单位圆，与x、y轴的正向交于A、C两点。在弧上一点B，分别作弦 、，垂直x、y轴的正向于D、E两点。过A、C分别作切线，交割线于F、G，即可得到： (1) ； (2) ； (3) 、、、皆为直角三角形。 根据三角函数的定义，我们观察到： 1. 在中，，由于在角所对的弦上，故称为「正弦函数」。 2. 在中，，由于在的余角所对的弦 上，故称为「余弦函数」。 3. 在中，，由于在角所对的切线上，故称为「正切函数」。 4. 在中，，由于在的余角所对的切线上，故称为「余切函数」。 5. 在中，，由于在角所在的割线上，故称为「正割函数」。 6. 在中，，由于在的余角所在的割线上，故称为「余割函数」。 【范例1】 已知为一个直角三角形，其中， 为较大的锐角，两股长分别为5、12。求的六个三角函数值。 【解】 ∵ 、 （大角对大边） ∴ 斜边长 ；； ；； ；。 【类题练习1】 已知为直角三角形，其中、和，求的六个三角函数的值。 【范例2】已知为直角三角形，其中、。试回答 下列问题： (1) 求的六个三角函数值。 (2) 求。 (3) 求。 【解】 如右图，直角三角形三边长的比为。 (1) ； ； ； ； ； (2) (3) 在范例2中，因为，我们常将直接写成，也就是说，就是角的正弦函数值。又为了方便书写，也常将写成、写成、…，而则是， 则是、…。 【范例3】分别求出角的六个三角函数值。 【解】 如右图，直角三角形三边长的比例为。 所以 ； ； ； ； ； 。 【类题练习2】试完成下表： sinA cosA tanA cotA secA cscA 【范例4】已知为直角三角形，其中、。 求。 【解】 因为，所以， 即可设，，。 由勾股定理，可知 。 因此，。 ； ； 所以 。 【类题练习3】已知直角中，为锐角且， 求。 【重点整理】 1. 当直角三角形中锐角角度的大小固定时，不论三角形的大小如何，其对应的两边长的比值恒固定，角度与比值形成了函数的对应关系。 中，如右图，的六个三角函数为： ，，， ，， 【家庭作业】 基础题 1. 已知为锐角且，求的其它五个三角函数值。 2. 求下列各式的值： 3. 求。 4. 设、、、都是锐角，且，，，，求。 5. 在中，、和。试回答下列各题： 求和的长。 求、、和。 6. 设为小于的锐角，试比较、、、、、的大小顺序。 进阶题 7. 在直角中，。已知，求。 8. 在锐角三角形中，已知，，若求、及的面积。 9. 如右图，圆O为单位圆，B、D在圆周上，若，求